104彰化高中

剛剛在ptt看到的，就給大家分享討論

8.
\( x^3+3x-2=0 \)在0與1之間有一個實數解\( x_0 \)，試解\( x_0 \)。
[提示]
用\( \displaystyle x=t-\frac{1}{t} \)代換
更多類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=21&page=1#pid1228


12.
設\( \Delta ABC \)滿足\( \overline{AB}=\overline{AC} \)。若點\( P \)是\( \Delta ABC \)的內部一點，且\( ∠ACP=30^{\circ} \)、\( ∠PCB=2∠PBC \)。若直線\( CP \)與中線\( \overline{AD} \)交於點\( F \)，試證：\( \overline{AP} \)是\( \Delta CAF \)的一內角平分線。
(99高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試試題，http://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=3688)


13.
安排\( n \)個人進入\( A,B,C \)三間房間，\( A \)房間必須有奇數個人，試問有幾種不同的安排方法？
(99高中數學能力競賽　口試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/muse ... oralexam_1s_new.pdf)
連結有解答

好不容易找到了^^
大家可以多一份練習

104彰化高中預備試題
5.
若\( \displaystyle (x+1)(x+2)(x+3)\ldots(x+15)=\sum_{k=0}^{15}a_kx^k \)，求\( a_{12} \)之值。

將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) \)展開後得\( \displaystyle x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+\displaystyle+10! \)，若\( a_8=55M \)，\( a_7=55^2N \)，其中\( M,N \)為正整數，求數對\( (M,N)= \)　　　。
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=8#pid5478)

8.
求\( \displaystyle \sum_{k=3}^{2015}\frac{k}{k!+(k-1)!+(k-2)!} \)之值。
前幾天PTT數學版才問過https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1429795511.A.3F6.html

五年前的4/18我將這題放在我的"教甄準備之路"上，五年後差點有教甄題目考出來(殘念)
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

將原本的題目及出處列出來表示尊重，感謝出了這麼棒的題目，網址可以下載歷年試題。
Evaluate\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \).
(國際數學奧林匹克2004香港選拔賽，http://www.hkage.org.hk/b5/competitions/detail/858)

12.
設數列\( \{\; a_n \}\; \)滿足\( a_{k+2}=a_{k+1}-a_k \)，\( \forall k \in N \)，而且前2000項和為2014，前2014項和為2000。試求前2015項之總和。
thepiano解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=3719

有一數列\( S_1,S_2,S_3,\ldots,S_{10} \)滿足從第三項開始，每一項為前兩項之和，即\( S_n=S_{n-2}+S_{n-1} \)，\( n \ge 3 \)。若\( S_9=110 \)且\( S_7=42 \)，則\( S_4= \)？
(A)4　(B)6　(C)10　(D)12　(E)16
(2013AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 77_2013_amc_12ahsme)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-4-29 04:29 PM 編輯 ]

竟然有隱藏版~

#2
證明f(n)=n^(1/n)為嚴格遞減~

#3
令a^2=1648+x^3  -------(1)
b^2=4949-x^3  --------(2)
則a^2+b^2=6597 --------(3)
又a-b=75 ----------(4)
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
75^2=6597-2ab,得ab=486------(5)
由(4)&(5)解得a=81 , b=6 代入(2)
得x^3=4913 ,x=17

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 12:38 PM 編輯 ]

第二題同 https://math.pro/db/thread-914-1-1.html

#1     101中正高中二招考題

#2     考慮函數f(x)=ln(x)/x

#13   100桃園新進教師聯招

好像有些都是考古題

試過幾種組何級數的辦法都不適用，問題卡在分母的k處理不掉，請各位先進指教。

個人感覺題目打錯了~
應該是Sigma {k=1 to n}  (5^k / k)*C(n,k-1)
不然化簡後的另一端,積分積不出來...

我積不出來,交給mathematica來積,它也無法...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 10:04 PM 編輯 ]