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103松山工農

smartdan

阿丹

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1^# 大中小發表於 2014-7-25 13:52 只看該作者

103松山工農

90分鐘作答時間。

應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！
今年很特別，七月底還開了兩間學校六個正式缺～

[ 本帖最後由 smartdan 於 2014-7-25 01:53 PM 編輯 ]

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103松山工農.pdf (696.8 KB): 2014-7-25 13:52, 下載次數: 9154

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natureling

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2^# 大中小發表於 2014-7-25 15:48 只看該作者

想請教9,12

引用:

原帖由 smartdan 於 2014-7-25 01:52 PM 發表
90分鐘作答時間。

應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！
今年很特別，七月底還開了兩間學校六個正式缺～

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tsyr

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3^# 大中小發表於 2014-7-25 17:22 只看該作者

第9題
慢慢討論(非常耗時間)
樣本空間3^6
依平手次數分六種情況
平手0次，則甲可能贏6、5或4次，
用排列數可得其分別可能有1、6和15種情況

平手1次，則甲可能贏5、4或3次，
用排列數可得其分別可能有6、30和60種情況

平手2次，則甲可能贏4或3次，
用排列數可得其分別可能有15和60種情況

平手3次，則甲可能贏3或2次，
用排列數可得其分別可能有20和60種情況

平手4次，則甲贏2次，
用排列數可得其有15種情況

平手5次，則甲贏1次，
用排列數可得其有6種情況

故共有1+6+15+6+30+60+15+60+20+60+15+6=294種可能
機率=294/3^6=98/243

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2014-7-25 17:23 只看該作者

第 9 題
不分勝負的情形，計以下141種
(1) 六和：1種
(2) 四和：C46

C12=30種
(3) 二和：C26

C24=90種
(4) 零和：C36=20種

所求=21

3636−141=98243

第12題

k4k2−1

=

k2+1+1k2−1

=k2+1

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-25 05:41 PM 編輯 ]

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tsyr

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5^# 大中小發表於 2014-7-25 17:29 只看該作者

第12題
(k^4)/(k^2-1)=k^2+(k^2)/(k^2-1)
取高斯符號後等於k^2+1(在k=2~100皆如此)
故原式=2^2+3^2+4^2+......+100^2+99=338448

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-25 05:30 PM 編輯 ]

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tsyr

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6^# 大中小發表於 2014-7-25 17:32 只看該作者

piano老師的解法漂亮!

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thepiano

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7^# 大中小發表於 2014-7-25 17:48 只看該作者

引用:

原帖由 smartdan 於 2014-7-25 01:52 PM 發表
應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！

還有 7/28 育成高中一個缺和 8/9 新化高中二個缺

去年有 134 個缺，今年至今有 124 缺
明年恐怕沒這麼多了，大家加油！

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tuhunger

阿基鴻德

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8^# 大中小發表於 2014-7-26 02:01 只看該作者

剩下的題目詳解

有錯或其它解法還請不吝指教...我有2題不會,還請神人下凡指點迷津... (第4,15題)

1.
f(x

y)=3x+3y=3x+31−x

2

3x

31−x=2

3

2.

sin

+cos

=−k

0sin

cos

=4

3 ⇒

(sin

+cos

)2=1+2sin

cos

(−k)2=1+2

4

3 ⇒k=

2

3+1 (取負)

3.

法1：
AC為

ABD分角線，且A=120

故81+x1=61，即x=24

法2：
AC=8+x2

8

xcos60

=6⇒x=24

公式：

ABC中，AB=c，AC=b，AD為∠BAC的角平分線，∠BAD=∠CAD=

，則AD=2bcb+ccos

。
證明：
設AD=x

ABC=

BAD+

CAD

21

AB

AC

sin∠BAC=21

AB

AD

sin∠BAD+21

AC

AD

sin∠CAD

21

b

c

sin2

=21

c

x

sin

+21

b

x

sin

bc

2sin

cos

=x

sin

(b+c)

2bc

cos

=(b+c)x

x=2bcb+ccos

4.

logA=2+

logB=2+3

⇒3

logA−logB=4⇒ A^3=B \times 2^4 \times 5^4
令 B=2^2 \cdot 5^2 \cdot k^3 因為 100<B=2^2 \cdot 5^2 \cdot k^3<1000 ，所以 1<k^3<10 ⇒ k=2 即 B=800 ， A=200

5.
a_5=C_5^5+C_5^6+\ldots+C_5^n=C_6^{n+1} ， a_4=C_4^4+C_4^5+\ldots+C_4^n=C_5^{n+1} ， a_3=C_3^3+C_3^4+\ldots+C_3^n=C_4^{n+1}
⇒ \displaystyle \frac{(n+1)!}{6!(n-5)!}=\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}+\frac{(n+1)!}{4!(n-3)!} ⇒ \displaystyle \frac{1}{6 \cdot 5}=\frac{1}{5 \cdot (n-4)}+\frac{1}{(n-3)(n-4)} ⇒ n=0 or 13

6.
\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3r}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{3s}\overrightarrow{AQ} 　因為P,G,Q共線⇒ \displaystyle \frac{1}{3r}+\frac{1}{3s}=1
科西不等式 \displaystyle (9r+4s)(\frac{1}{3r}+\frac{1}{3s}) \ge ( \sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{3}})^2=\frac{25}{3}

7.

z^6-1=(z+1)(z^5-z^4+z^3-z^2+z-1)

求 \displaystyle =5 \times (正 \Delta)=5 \cdot ( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 )=\frac{5 \sqrt{3}}{4}

8.

由斜率可知 \overline{P_3 P_4}=10 ，求 \displaystyle S=\frac{a}{1-r}=\frac{(60+20)}{1-\frac{1}{6}}=96

10.
\displaystyle \matrix{捷　車　機 \cr \left[ \matrix{\frac{7}{10} & \frac{2}{10} & \frac{1}{10} \cr \frac{1}{10} & \frac{5}{10} & 0 \cr \frac{2}{10} & \frac{3}{10} & \frac{9}{10}} \right] } \cdot \left[ \matrix{x \cr y \cr z} \right]=\left[ \matrix{x \cr y \cr z} \right] ⇒ \displaystyle \cases{\frac{7}{10}x+\frac{2}{10}y+\frac{1}{10}z=x \cr \frac{1}{10}x+\frac{5}{10}y=y} ⇒ x:y:z=5:1:13 ⇒求 \displaystyle z=\frac{13}{5+1+13}=\frac{13}{19}

11.
易知拋物線過 A(5,5 \sqrt{3}) ， B(25,15 \sqrt{3})
令拋物線 \Gamma ： x=ay^2+k ⇒ \cases{5=75a+k \cr 25=675a+k} 解得 \displaystyle a=\frac{1}{30} ， \displaystyle k=-\frac{75}{30}
⇒拋物線 \Gamma ： \displaystyle x=\frac{1}{30}y^2-\frac{75}{30}

13.
(i)當 \displaystyle x=\frac{1}{2} ， a_2 x^2=a_1x ⇒ \displaystyle a_2 (\frac{1}{2}=a_1) ，所以 a_2=2
(ii)當 \displaystyle x=\frac{1}{3} ， a_3 x^3=a_2 x^2 ⇒ \displaystyle a_3 (\frac{1}{3})=a_2 ，所以 a_3=2 \cdot 3
(iii)當 \displaystyle x=\frac{1}{4} ， a_4 x^4=a_3 x^3 ⇒ a_4 (\frac{1}{4})=a_3 ，所以 a_4=2 \cdot 3 \cdot 4
類推可知 a_n=n!

14.
\displaystyle cos 60^{\circ}=\frac{(10-x)^2+x^2-6^2}{2 \cdot (10-x) \cdot x}=\frac{1}{2} ，可得 \displaystyle x=5 \pm \sqrt{\frac{11}{3}}
⇒ \displaystyle \Delta F_1 PF_2=\frac{1}{2}(5+\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot (5-\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot sin 60^{\circ}=\frac{16}{3} \sqrt{3}

16.

\displaystyle y=\sqrt{4-\frac{4}{9}x^2} 　⇒　 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
所求=直線 \displaystyle y=\frac{2}{3}x+2 與上橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 所夾面積 \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3=6