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103華僑高中

thepiano

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11^# 大中小發表於 2014-5-11 20:14 只看該作者

第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1

原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式

答案是 -27/2

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 08:45 PM 編輯 ]

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Ellipse

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12^# 大中小發表於 2014-5-11 21:23 只看該作者

請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法4:
令f(x)=ln (sinx+2)
f '(x)=cosx/(sinx+2)
所求即找f '(x) 的最大值
即f(x)斜率的最大值
如附件的圖

如何找f '(x)最大值?留給網友討論~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 09:27 PM 編輯 ]

附件

圓與直線2.png (215.97 KB)

2014-5-11 21:23

圓與直線2.png

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arend

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13^# 大中小發表於 2014-5-12 00:50 只看該作者

請教第3題, 四邊形內一點到四個邊的距離平方和的最小值
謝謝

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arend

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14^# 大中小發表於 2014-5-12 02:43 只看該作者

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-11 08:14 PM 發表
第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1

原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式

答案是 -27/2

鋼琴師:
不知哪裡算錯,我的答案為27/2
令w=cosθ+isinθ, 所求為27/1-w的實部

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thepiano

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15^# 大中小發表於 2014-5-12 06:30 只看該作者

引用:

原帖由 arend 於 2014-5-12 02:43 AM 發表
不知哪裡算錯,我的答案為27/2
令w=cosθ+isinθ, 所求為27/1-w的實部

S = 1 + 2w + 3w^2 + ... + 27w^26
wS = w + 2w^2 + ... + 26w^26 + 27w^27
(1 - w)S = 1 + w + w^2 + ... + w^26 - 27
S = -27/(1- w)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-12 06:32 AM 編輯 ]

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thepiano

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16^# 大中小發表於 2014-5-12 11:53 只看該作者

引用:

原帖由 arend 於 2014-5-12 12:50 AM 發表
請教第3題, 四邊形內一點到四個邊的距離平方和的最小值

是四面體內一點到四個面的距離平方和的最小值嗎？

計算第 3 題
(1)
△ABC 面積為 P
△ABD 面積為 Q
△ACD 面積為 R
△BCD 面積為 S

P 到平面 ABC 的距離 = a
P 到平面 ABD 的距離 = b
P 到平面 ACD 的距離 = c
P 到平面 BCD 的距離 = d

四面體 ABCD 的體積為 V

則 (Pa + Qb + Rc + Sd)/3 = V
(Pa + Qb + Rc + Sd)^2 = 9V^2
(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) ≧ (Pa + Qb + Rc + Sd)^2
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ≧ (9V^2)/(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)

剩下的就是找出四面體體積和四個面的面積了

110.7.25補充
已知點P為邊長為

2 的正四面體ABCD內的任意一點，P到四個面的距離分別為d1、d2、d3、d4，則d21+d22+d23+d24的最小值為何？(A)112　(B)316　(C)31　(D)34
(110全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3530-1-1.html)

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thepiano

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17^# 大中小發表於 2014-5-12 20:18 只看該作者

計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19

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arend

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18^# 大中小發表於 2014-5-12 21:05 只看該作者

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-12 06:30 AM 發表

S = 1 + 2w + 3w^2 + ... + 27w^26
wS = w + 2w^2 + ... + 26w^26 + 27w^27
(1 - w)S = 1 + w + w^2 + ... + w^26 - 27
S = -27/(1- w)

謝謝鋼琴師
我自己太大意

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Ellipse

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19^# 大中小發表於 2014-5-12 21:05 只看該作者

請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法5:
令cosx=a ,2+sinx=b , a/b=m
則sinx=b-2 ,a=bm
又a²+(b-2)²=1-------(1)
將a=bm代入(1)
整理得(m²+1)b²-4b+3=0--------(2)
因為b為實數,所以(2)的判別式D>=0
16-12(m²+1)>=0
整理得-√(1/3)<= m <= √(1/3)

還會有多少種解法呢?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-12 09:14 PM 編輯 ]

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Ellipse

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20^# 大中小發表於 2014-5-12 21:10 只看該作者

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-11 08:14 PM 發表
第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1

原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式

答案是 -27/2

考古題~
99南區國中
100全國高中聯招都考過~

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