引用:
原帖由 arend 於 2014-5-12 12:50 AM 發表 
請教第3題, 四邊形內一點到四個邊的距離平方和的最小值
計算第 3 題
(1)
△ABC 面積為 P
△ABD 面積為 Q
△ACD 面積為 R
△BCD 面積為 S
P 到平面 ABC 的距離 = a
P 到平面 ABD 的距離 = b
P 到平面 ACD 的距離 = c
P 到平面 BCD 的距離 = d
四面體 ABCD 的體積為 V
則 (Pa + Qb + Rc + Sd)/3 = V
(Pa + Qb + Rc + Sd)^2 = 9V^2
(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) ≧ (Pa + Qb + Rc + Sd)^2
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ≧ (9V^2)/(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)
剩下的就是找出四面體體積和四個面的面積了
110.7.25補充
已知點\(P\)為邊長為\(\sqrt{2}\)的正四面體\(ABCD\)內的任意一點，\(P\)到四個面的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)、\(d_4\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)的最小值為何？(A)\(\displaystyle \frac{1}{12}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{16}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(110全國高中聯招，
https://math.pro/db/thread-3530-1-1.html)
