6.
若\(\left[\matrix{\displaystyle \frac{2}{5}&\frac{1}{3}\cr\frac{3}{5}&\frac{2}{3}}\right]\Bigg\{\;\left[\matrix{\displaystyle \frac{3}{5}&\frac{4}{5}\cr\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}}\right] \left[ \matrix{\displaystyle \frac{24}{25}&-\frac{7}{25}\cr \frac{7}{25}&\frac{24}{25}}\right]\Bigg\}\;^{114}\left[\matrix{1&4\cr 3&2}\right]=\left[\matrix{a&c\cr b&d}\right]\)，求\(a+b+c+d=\)？
(我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)
[提示]
\(R_1=\left[\matrix{cos2\theta&sin2\theta \cr sin2\theta&-cos2\theta}\right]=\left[\matrix{\displaystyle \frac{3}{5}&\frac{4}{5}\cr\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}}\right]\)為鏡射矩陣，\(det(R_1)=-1\)
\(R_2=\left[\matrix{cos\theta&-sin\theta \cr sin\theta&cos\theta}\right]=\left[ \matrix{\displaystyle \frac{24}{25}&-\frac{7}{25}\cr \frac{7}{25}&\frac{24}{25}}\right]\)為旋轉矩陣，\(det(R_2)=+1\)
\(det(R_3)=det(R_1\cdot R_2)=det(R_1)\cdot det(R_2)=-1\)，\(R_3\)為鏡射矩陣
\((R_1\cdot R_2)^2=R_3^2=I\)鏡射兩次回到原來位置
10.
已知\(p\ne 0\)，\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(x^3-px+p^3=0\)的三個根，試以\(p\)表示\(\displaystyle \frac{\alpha-p}{\alpha+p}+\frac{\beta-p}{\beta+p}+\frac{\gamma-p}{\gamma+p}\)之值。
114.4.21補充
設方程式\(x^3-2x^2-3x+1=0\)之三根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)，試求以\(\displaystyle \frac{\alpha-1}{2\alpha+3}\)、\(\displaystyle \frac{\beta-1}{2\beta+3}\)、\(\displaystyle \frac{\gamma-1}{2\gamma+3}\)為三根之三次方程式。
(109全國高中聯招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3342&page=1#pid21387)
15.
二階方陣A滿足\(A^T=A^{-1}\)，證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
[解答]
114.7.25補充
以Gemini 2.5 Pro計算，指令為"二階方陣A滿足A^T=A^-1，證明：A必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。"，以下為回應結果
好的，這是一個線性代數中關於正交矩陣 (Orthogonal Matrix) 的經典證明題。我們將從定義出發，推導其結構。
證明
1. 前置定義與條件分析
我們要證明一個二階方陣 (2x2 matrix) \(A\)，若滿足\(A^T=A^{-1}\)，則\(A\)必為旋轉矩陣或鏡射矩陣。
首先，我們設一個通用的二階方陣\(A\)：
\(A =\left[\matrix{a & b\cr c & d}\right]\)其轉置矩陣\(A^T\)為：\(A^T=\left[\matrix{a&c \cr b&d}\right]\)題目給定的條件\(A^T= A^{-1}\)，兩邊同乘以\(A\)，可得：\(A^T A = A^{-1} A = I\)
其中\(I\)是單位矩陣\(\left[\matrix{1&0\cr0&1}\right]\)。這個關係\(A^TA=I\)是正交矩陣的定義，也是我們證明的出發點。
2.展開矩陣乘法
我們將\(A^TA=I\)展開：\(\left[\matrix{a&c\cr b&d}\right]\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{a^2+c^2&ab+cd\cr ab+cd&b^2+d^2}\right]=\left[\matrix{1&0\cr0&1}\right]\)
比較兩邊矩陣的元素，我們可以得到以下三個重要的關係式：
(1)\(a²+c²=1\)
(2)\(b²+d²=1\)
(3)\(ab+cd=0\)
3.利用參數式表示矩陣元素
由關係式(1)\(a^2+c^2=1\)，我們可以聯想到三角函數的平方關係\(cos^2\theta+sin^2\theta=1\)。
因此，我們可以設存在一個角度\(\alpha\)，使得：\(a=cos(\alpha),c=sin(\alpha)\)
同樣地，由關係式(2)\(b^2+d^2=1\)，我們可以設存在一個角度\(\beta\)，使得：\(b=cos(\beta),d=sin(\beta)\)
現在，將這些參數式代入關係式(3)\(ab+cd=0\)：\(cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)=0\)
根據和角公式，\(cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)\)，所以我們得到：\(cos(\alpha-\beta)=0\)
這表示\(\alpha\)和\(\beta\)的角度差為\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)的奇數倍，即\(\displaystyle \alpha-\beta=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，其中\(k\)為整數。換句話說，\(\displaystyle \alpha-\beta=\pm\frac{\pi}{2},\pm\frac{3\pi}{2},\ldots\)。
4.探討\(A\)的行列式(Determinant)
我們從\(A^TA=I\)來計算\(A\)的行列式\(det(A)\)：
\(det(A^TA)=det(I)\)
\(det(A^T)\cdot det(A)=1\)
因為轉置矩陣的行列式值不變，即\(det(A^T)=det(A)\)，所以：\((det(A))²=1\)
這導出一個關鍵結論：\(det(A)=1\)或\(det(A)=-1\)。
這兩個值正好分別對應旋轉和鏡射變換，因此我們分兩種情況討論。
情況一：\(det(A)=1\)(旋轉矩陣)
\(det(A)=ad-bc=1\)
將參數式代入：\(cos(\alpha)sin(\beta)-cos(\beta)sin(\alpha)=1\)
根據差角公式，\(sin(\beta-\alpha)=sin(\beta)cos(\alpha)-cos(\beta)sin(\alpha)\)，所以：\(sin(\beta-\alpha)=1\)
這表示\(\displaystyle\beta-\alpha=2k\pi+\frac{\pi}{2}\)。
結合前面\(cos(\alpha-\beta)=0\)的結論，唯一滿足這兩個條件的是\(\displaystyle \beta-\alpha=\frac{\pi}{2}\)(或差\(2\pi\)的同位角)。
因此，\(\displaystyle \beta=\alpha+\frac{\pi}{2}\)。
現在我們用\(\alpha\)來表示\(b\)和\(d\)：
\(\displaystyle b=cos(\beta)=cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\beta)=sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=cos(α)\)
將\(a,b,c,d\)的結果代回矩陣\(A\)：\(A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{cos(\alpha)&-sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&cos(\alpha)}\right]\)
這正是將平面上的點繞原點逆時針旋轉\(\alpha\)角度的旋轉矩陣。
情況二：\(det(A)=-1\)(鏡射矩陣)
\(det(A)=ad-bc=-1\)
將參數式代入：
\(cos(\alpha)sin(\beta)-cos(\beta)sin(\alpha)=-1\)
\(sin(\beta-\alpha)=-1\)
這表示\(\displaystyle \beta-\alpha=2k\pi-\frac{\pi}{2}\)。
結合\(cos(\alpha-\beta)=0\)，唯一滿足條件的是\(\displaystyle \beta-\alpha=-\frac{\pi}{2}\)。
因此，\(\displaystyle \beta=\alpha-\frac{\pi}{2}\)。
我們再次用\(\alpha\)來表示\(b\)和\(d\)：
\(\displaystyle b=cos(\beta)=cos(\alpha-\frac{\pi}{2})=sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\beta)=sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-cos(\alpha)\)
將\(a,b,c,d\)的結果代回矩陣\(A\)：\(A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{cos(\alpha)&sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&-cos(\alpha)}\right]\)
這個矩陣可以寫成\(\left[\matrix{cos(\alpha)&sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&-cos(\alpha)}\right]\)的形式。這正是將平面上的點對一條通過原點、與\(x\)軸夾角為\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}\)的直線進行鏡射的鏡射矩陣。
結論
我們已經證明，對於滿足\(A^T=A^{-1}\)的二階方陣\(A\)，其行列式值必為1或\(-1\)。
當\(det(A)=1\)時，\(A\)必定是旋轉矩陣。
當\(det(A)=-1\)時，\(A\)必定是鏡射矩陣。
因此，\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。證明完畢。
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設\(P\)為平面上任意一點，\(O\)為原點，若二階方陣\(A\)將\(P\)對應到\(Q\)且\(\overline{PO}=\overline{QO}\)，以高中數學內容證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
(114鳳新高中，
https://math.pro/db/thread-3978-1-1.html)
