113大直高中

請教非選第 2 題

P.S. 檔名太長上傳後變亂碼，所以刪了幾個字。

113.05.14
學校在 0508 有補充公告非選題答案

非選第 2 題
在坐標空間中，\(xz\)平面上有一直線\(L\)：\(\sqrt{3}x-z-6=0\)，將此直線繞\(z\)軸旋轉得到一個直圓錐面，此圓錐面和\(xy\)平面圍成一個圓錐體。現將一球塞進此圓錐體中，則此球面半徑最大時的球心坐標為　　　。
[解答]
圓錐體頂點 P(0，0，-6)、在 x 軸上的底面直徑一端點為 A(2√3，0，0)
球心 M，作 MN 垂直 PA 於 N

OM = MN =  r、OP = 6、PM = 6 - r
OA = 2√3、PA = 4√3

利用 △POA 和 △PNM 相似，可得 r = 2
此時球心 M(0，0，-2)

1.
已知\(a,b,c\)為相異之正整數，且滿足\(abc=2310\)，則集合\(\{\;a,b,c \}\;\)共有　　　種可能。
(1995AHSME，連結有答案https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)
(相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1334&page=1#pid5243)

2.
若有一正數數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)，其中\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)，且\(\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}=a_n(n\ge 2)\)，求\(S_{20}-S_{19}+S_{18}=\)　　　。
我的教甄準備之路　求數列一般項https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507
[解答]
\(\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}=a_n=S_n-S_{n-1}=(\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}})(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}})\)，得\(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}=1\)

\(\matrix{\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}=1 \cr \sqrt{S_{n-1}}-\sqrt{S_{n-2}}=1 \cr \ldots \cr \sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}=1 \cr＿＿＿＿＿＿＿\cr \sqrt{S_n}-\sqrt{S_1}=n-1}\)

\(\sqrt{S_n}-\sqrt{a_1}=\sqrt{S_n}-1=n-1\)
得\(\sqrt{S_n}=n\)，\(S_n=n^2\)

3.
若\(a_n=\left|\matrix{n&n+1&0 \cr n+2&n+1&n+2\cr n+2&0&n+2} \right|,\forall n \in N\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=\)　　　。
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
[提示]
\(a_n=\left|\matrix{n&n+1&0 \cr 0&n+1&0\cr n+2&0&n+2} \right|=
\left|\matrix{n&0&0 \cr 0&n+1&0\cr n+2&0&n+2} \right|=n(n+1)(n+2)\)
\(\displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\)

8.
空間中有\(A(-1,3,2)\)，\(B(3,3,4)\)兩點，過\(A\)、\(B\)兩點且球心在平面\(E\)：\(5x-2y+5z-5=0\)上之球面有無限多個，則其中半徑最小之球面\(S\)的方程式為　　　。

空間中有三點\(A(-1,1,3)\)、\(B(3,1,5)\)、\(P(4,-1,-4)\)，若球面\(S\)過\(A\)、\(B\)兩點且球心在平面\(E\)：\(5x-2y+5z-14=0\)上，則滿足此條件的球面\(S\)有無限多個，其中半徑最小的球面方程式為　　　。
(100中科實中，連結有答案https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3156)

二、非選題
2.
在坐標空間中，\(xz\)平面上有一直線\(L\)：\(\sqrt{3}x-z-6=0\)，將此直線繞\(z\)軸旋轉得到一個直圓錐面，此圓錐面和\(xy\)平面圍成一個圓錐體。現將一球塞進此圓錐體中，則此球面半徑最大時的球心坐標為　　　。
相關問題https://math.pro/db/thread-1268-1-1.html

3.
右圖為一個\(8\times 8\)的黑白色棋盤，現欲將此棋盤分割成\(n\)個矩形，規定不能破壞棋盤上的任何一格，並且須滿足下述二個條件：
(1)每一個矩形中白格與黑格的個數相等；
(2)若\(a_i\)為第\(i\)個矩形的面積，則\(a_1<a_2<\ldots<a_n\)
試問滿足上述分割的最大可能\(n\)值為何？並且畫出此\(n\)值的所有分割。
(建中通訊解題第59期，連結有答案https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... 45bce2/09-97050.pdf)

填充8 感謝bugmens老師
想問非選1

非選第 1 題：
已知有三正數\(x,y,z\)滿足\(x>z\)且\(y>z\)，試證明\(\sqrt{z(x-z)}+\sqrt{z(y-z)}\le \sqrt{xy}\)
[解答]
因為 \(x>z\) 且 \(y>z\)，所以 \(x-z>0\) 且 \(y-z>0\)。

利用 \(\displaystyle \left(\sqrt{x-z}\ \sqrt{y-z}-z\right)^2\geq0\)，

展開後得 \(\displaystyle \left(x-z\right)\left(y-z\right)-2z\sqrt{x-z}\sqrt{y-z}+z^2\geq0\)

\(\displaystyle \Rightarrow z^2 +\left(x-z\right)\left(y-z\right)\geq 2z\sqrt{x-z}\sqrt{y-z}\)

（在不等號兩側同時加上 \(z\left(x-z\right)+z\left(y-z\right)\)）

\(\displaystyle \Rightarrow z^2 +\left(x-z\right)\left(y-z\right)+z\left(x-z\right)+z\left(y-z\right)\geq 2z\sqrt{x-z}\sqrt{y-z}+z\left(x-z\right)+z\left(y-z\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow xy\geq \left(\sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}\right)^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(\sqrt{xy}\right)^2\geq \left(\sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}\right)^2\)

由於 \(\sqrt{xy}\) 與 \(\displaystyle \sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}\) 皆非負，

得 \(\displaystyle \sqrt{xy}\geq \sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}\)

有兩篇 113大直高中

113.4.24版主補充
感謝,沒留意到Superconan已經將大直高中的題目放上來了

大直高中 填充題解答 供參
非選1 參考瑋岳老師的寫法 感謝~
           再試著以分析法寫看看

感謝瑋岳老師

\(\sqrt{z(x-z)}+\sqrt{z(y-z)}\le\sqrt{xy}\)
\((\sqrt{z(x-z)}+\sqrt{z(y-z)})^2\le xy=((x-z)+z)(z+(y-z))\)
由柯西不等式得證。