109西松高中(新增官方版試題)

請問填充第 1, 3, 7 題

6.
設\(x\)為實數，則函數\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-4x+5}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)的最大值為　　　。
[提示]
\(\sqrt{(x-2)^2+(x^2-1)^2}-\sqrt{(x-0)^2+(x^2-2)^2}\)

8.
求從等差數列\(5,7,9,11,\ldots,23\)中任取二個數相乘後所得之數的總和為　　　。
[提示]
\((5+7+9+11+\ldots+23)^2=(5^2+7^2+9^2+11^2+\ldots+23^2)+2(兩兩相乘)\)

設方程式\( x^8+a_7 x^7+a_6 x^6+...+a_1 x+a_0=0 \)之解集合為{1,2,3,4,5,6,7,8}，求\( a_6= \)？
[提示]
\( (1+2+3+4+5+6+7+8)^2=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2)+2(兩兩相乘) \)
98桃園高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=826&page=1#pid1580

二、計算證明題
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)，\(a_1=1\),\(a_{n+1} = 2 a_n + n - 1\) ，\(n=1,2,3 \ldots\) ，求數列的一般項\(a_n\)(以\(n\)表示)。
[提示]
\(a_{n+1}+a(n+1)+b=2(a_n+an+b)\)，得\(a=1,b=0\)
(我的教甄準備之路　數列一般項，https://math.pro/db/thread-661-3-1.html)

填充1.
設拋物線\(x^2=4y\)上取兩點\(A,B\)，使\(\overline{AB}=2\)，在\(A,B\)處分別作拋物線的切線，則此兩切線交點的軌跡方程式為　　　。

\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)，\(\displaystyle y'=\frac{1}{2}x\)
設 \(A(2a, a^2),~B(2b, b^2)\)，
則過 A 點的切線斜率為 a，切線為 \(ax-y=a^2\)，同理，過 B 點的切線為 \(bx-y=b^2\)
兩直線解聯立可得交點 \(P(a+b, ab)\)，即 \(x=a+b,~y=ab\)
則可推知 \(a^2+b^2=x^2-2y\)，且 \((a-b)^2=x^2-4y\)
由 \(\overline{AB}^2=(2a-2b)^2+(a^2-b^2)^2=4\)，可得 \((x^2-4y)(x^2+4)=4\)

填充2. 橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)，拋物線方程式 \(\displaystyle y^2=\frac{1}{2}x\)

填充3.  當 \(\overline{AB}\) 有最小值時，切線為 \(y=ax+b\)，試求數對 \((a,b)\)

填充6. \(\sqrt{x^4-x^2-4x+5}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)    (不確定係數)

計算三(2).
設橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{16}=1\)，證明 \(\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{PF}}{d(P,L)}\)，並求出兩條準線方程式。(不確定橢圓的中心點)

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想請教計算二

手寫稿（等待官方版釋出）

計算2.
\(\Delta ABC\)之內切圓與三邊切於\(P,Q,R\)三點。
(1)試證：面積比\(\displaystyle \frac{\Delta PQR}{\Delta ABC}=\frac{r}{2R}\)。(其中\(\Delta ABC\)之內切圓半徑\(r\)，外接圓半徑\(R\)。)
(2)試證：面積比\(\displaystyle \frac{\Delta PQR}{\Delta ABC}\le \frac{1}{4}\)，可得任意三角形之\(2r\le R\)。

計算2(1)
設I為ABC的內心，可知IP=IQ=IR=r
以下的角度單位為度度量

PQR面積=1/2*r^2*sin(180-A)+1/2*r^2*sin(180-B)+1/2*r^2*sin(180-C)
=1/2*r^2*sinA+1/2*r^2*sinB+1/2*r^2*sinC
=1/2*r^2*(a/2R)+1/2*r^2*(b/2R)+1/2*r^2*(c/2R)

ABC面積=rs=r*(a+b+c)*1/2

兩者下去相除，即可得題目所求 r/2R

計算證明二 (2)
用尤拉定理，\(\Delta ABC\)的內心為\(I\)，外心為\(O\)，則\({{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\)
\(\begin{align}
  & {{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\ge 0 \\
& R\ge 2r \\
& \frac{r}{2R}\le \frac{1}{4} \\
\end{align}\)
等號成立於正三角形時

填充第7題
已知實數\(\alpha,\beta\)分別滿足\(\alpha^3+3\alpha^2+6\alpha-8=0\)及\(\beta^3-6\beta^2+15\beta-2=0\)，則\(\alpha+\beta\)之值為　　　。

易知\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-8=0\)和\({{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+15y-2=0\)都恰有一實根
令兩實根和\(x+y=a\)
展開\({{\left( a-x \right)}^{3}}-6{{\left( a-x \right)}^{2}}+15\left( a-x \right)-2=0\)，比較係數，可知\(a=1\)

計算2.（2）

填充第3題
設橢圓：\(\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\)，點\(P(x_0,y_0)\)為橢圓上第一象限中的一點，過點\(P\)作切線交\(x\)軸交於點\(A\)，交\(y\)軸於點\(B\)，當\(\overline{AB}\)有最小值時的切線方程式為\(y=ax+b\)，則數對\((a,b)=\)　　　。

\(P\left( 5\cos \theta ,4\sin \theta  \right)\)
直線\(AB\)之方程式為\(\frac{\cos \theta }{5}x+\frac{\sin \theta }{4}y=1\)
\(\begin{align}
  & A\left( \frac{5}{\cos \theta },0 \right),B\left( 0,\frac{4}{\sin \theta } \right) \\
& \overline{AB}=\sqrt{{{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}}} \\
& \left[ {{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}} \right]\left( {{\cos }^{2}}\theta +{{\sin }^{2}}\theta  \right)\ge {{\left( 5+4 \right)}^{2}}=81 \\
\end{align}\)
等號成立於\(\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{3},\sin \theta =\frac{2}{3}\)
直線\(AB\)之方程式為\(y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}x+6\)