106新竹高中

小弟不才，只能記得這些
第5題我記的不是很清楚
想請教版上的高手們
計算題1.3.4.6怎麼做?感謝!

填充4. 印象中是至少一個位數是9 的機率為 \(P_{n}\)
計算5.(2) 求 \( \sum\limits^{8}_{k=1}{z_{k}^{7}} \)
6.(1)
明顯的 \( a_{n}>0 \)
因為 \(a_{n}=\displaystyle  \frac{2a_{n-1}}{3}+\frac{4}{a_{n-1}^{2}} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}}=\sqrt[3]{12}\) (算幾不等式)，
所以數列 \( a_{n}\) 有下界 \( \sqrt[3]{12} \)
\( a_{n}-a_{n-1}=\displaystyle  \frac{2a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}-a_{n-1}= \frac{12-a_{n-1}^{3}}{3a_{n-1}^{2}} \leq 0 \) (因為 \(a_{n-1}^{3} \geq 12\) )，
所以數列 \(a_{n}\) 為遞減數列
由實數的完備性知道數列 \(a_{n}\) 收斂
6.(2)
設 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha \)，則 \(\alpha=\displaystyle  \frac{2\alpha}{3}+\ \frac{4}{\alpha^{2}}\) 可以解出 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha=\sqrt[3]{12} \)
3.
設 \( f : ( 2 , \infty )\rightarrow R \)，\(f(x)=\log_{x-1}{x} \)
\(f(x)=\log_{x-1}{x}=\displaystyle  \frac{\ln{x}}{\ln{(x-1)}} \)，\(f'(x)= \displaystyle   \frac{\frac{1}{x}\times\ln{(x-1)}-\frac{1}{x-1}\times\ln{x}}{[\ln{(x-1)}]^{2}} \)
因為 \([\ln{(x-1)}]^{2}>0 \)，\(0<\displaystyle  \frac{1}{x}< \frac{1}{(x-1)} \)，\( 0=\ln{(2-1)}<\ln{(x-1)}<\ln{x} \)，
所以 \( f'(x)<0 \)，因此 \( f(x) \) 為嚴格遞減函數

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計算第 4 題
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=20\)，\(M\)為\(\overline{AB}\)中點，\(\Delta ABC\)的內切圓三等分\(\overline{CM}\)，求\(\Delta ABC\)面積。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{\overline{MD}}^{2}}=\overline{MN}\times \overline{MG}=\overline{CG}\times \overline{CN}={{\overline{CF}}^{2}} \\
& \overline{MD}=\overline{CF}=\overline{CE} \\
& \overline{BC}=\overline{BM}=10 \\
\end{align}\)
令\(\overline{CF}=x\)，則\(\overline{AF}=\overline{AD}=20-\left( 10-x \right)=x+10,\overline{CG}=\frac{1}{\sqrt{2}}x,\overline{CM}=\frac{3}{\sqrt{2}}x\)

\(\begin{align}
  & {{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}=2{{\overline{CM}}^{2}}+2{{\overline{AM}}^{2}} \\
& {{\left( 2x+10 \right)}^{2}}+{{10}^{2}}=2{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}}x \right)}^{2}}+2\times {{10}^{2}} \\
& x=8 \\
& \overline{AC}=26 \\
& \Delta ABC=24\sqrt{14} \\
\end{align}\)

107.4.23補充
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=10\)，\(M\)為\(\overline{AB}\)中點，\(\Delta ABC\)內切圓恰將線段\(\overline{CM}\)三等份，試求\(\Delta ABC\)面積=　　　。
107中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-2943-1-1.html

計算第 1 題
P 應在正四面體的四個面上

P 在\(\Delta CAB\)和\(\Delta OAB\)上，所形成的面積如圖中的黃色區域
黃色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}\)

P 在\(\Delta OAC\)和\(\Delta OBC\)上，所形成的面積如圖中的綠色區域
綠色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\pi }{9}\)

所求\(=\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\pi }{9} \right)\times 2=\frac{4}{3}\sqrt{3}+\frac{5}{9}\pi \)

幫忙朋友代PO
這是他們多人集結考題後
整理出來的

並非官方正式版本

感謝他們熱心的幫忙^^

感謝mathbigtree幫忙整理
讓考題完整
感謝thepiano、czk0622老師真的很精彩的想法

想請問計算五的第二小題～謝謝

感謝新手老師的PO文
感謝mathbigtree幫忙整理
讓考題完整
感謝thepiano、czk0622老師真的很精彩的想法

計算五的第二小題

\(\displaystyle \sum_{k=1}^8 z_k{}^7 = \sum_{k=1}^8 \frac{z_k{}^8}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot\sum_{k=1}^8 \frac{1}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot \frac{\left(z_1,z_2,\cdots z_8\mbox{任取7個乘積之和}\right)}{z_1 z_2\cdots z_8}=0\)

後面等於0的部分這樣解釋不曉得對不對

考試寫到一半修正帶用完,所以後面寫的一團亂了@@
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話說怎麼沒辦法上傳附件啊