99關西高中

請問關西高中的第17題，四面體中兩歪斜線間的距離，能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直，己知BC=6, AB=AC,<BAC=<BCD=90度,<BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少

坐標化，令 \(C(0,0,0)\)、\(B(6,0,0)\)、\(A(3,0,3)\)、\(D(0,2\sqrt{3},0)\)

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563
學校公佈的是考卷的掃描檔，檔案比較大而且不容易閱讀
我重新打字後將檔案附上，這檔案需要安裝LibreOffice才能開啟
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1073

2.一道光線通過雙曲線的一個焦點\( F(-2,1) \)，射至雙曲線上一點\( P(-4,5) \)，反射後朝A點射去，若此雙曲線中心在\( (1,1) \)，且\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \)，則a點座標為。
[提示]
雙曲線方程式\( \displaystyle \frac{(x-1)^2}{5}-\frac{(y-1)^2}{4}=1 \)
過\( P(-4,5) \)切線方程式為\( x+y=1 \)，法線方程式\( x-y=-9 \)
\( F(-2,1) \)對\( x-y=-9 \)的對稱點為\( (-8,7) \)
過\( (-8,7) \)和\( (-4,5) \)的直線參數式為\( (-4t-4,2t+5) \)
當\( \displaystyle t=\frac{3}{2} \)，\( A(-10,8) \)時，\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \)

感謝八神庵提醒將雙曲線方程式將加改成減


3.擲一個均勻骰子四次，依次得點數a、b、c、d，則出現\( (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=0 \)的機率為？

投擲一公正骰子四次，每次出現之點數依次為a、b、c、d，求
(1)滿足\( (a-b)(b-c)(c-d)=0 \)之機率
(2)滿足\( (a-b)(b-c)(c-d)(d-a) \ne 0 \)之機率
(高中數學101　P279，高中數學101修訂版　P285)


9.過橢圓\( x^2+2y^2=8 \)上一點\( P(2,k) \)，作切線L，已知兩焦點F,F'在L上的正射影分別為Q與R，則△PQF與△PRF'面積比為。(其中焦點F在x軸的正向上)

如右圖，L為過Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)上一點\( T(1,k) \)之切線，由二焦點P、Q作L之垂線，垂足為R、S，則a△TPR:a△TQS=？
(高中數學101　P256，高中數學101修訂版　P258)


11.若\( a^2+b^2+c^2=16 \)，\( x^2+y^2+z^2=25 \)且a,b,c,x,y,z均為實數，則\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 2 \cr a & b & c \cr x & y & z} \right|\ \)的最大值為？

若\( a^2+b^2+c^2=9 \)，\( x^2+y^2+z^2=14 \)，且a,b,c,x,y,z均為實數，則(1)\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr a & b & c \cr x & y & z} \right|\ \)之Max=？　(2)此時\( ax+by+cz \)之值為？
(96豐原高商，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24772)

113.2.2補充
15.
設實係數方程式\(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\)，有四個相異虛根，其中兩根的和是\(2+3i\)，另兩根的乘積是\(4+3i\)，則\(b\)值為　　　。
相關題目https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

平面上有一直徑 \(6\) 的半圓，\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點，\(A\) 為半圓上的中點，

在 \(\overline{AB}\)  和 \(\overline{AC}\) 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\)，

使得 \(\overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2\)，

直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點，求 \(QR=\)？

3Q各位高手,本來以為在圓周上

設坐標系，

令 \(A(0,3)\)、\(B(-3,0)\)、\(C(3,0)\)，由分點公式可得 \(P(-1,2)\)、\(Q(2,1)\)

因此 \(\overleftrightarrow{PQ}:\,x+3y=5\) ，其交 \(x\) 軸於 \(R(5,0)\)，

故，\(\overline{QR}=\sqrt{10}.\)

鋼琴兄已於 2010.6.20 以幾何方式解出來, 如下網址
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1563
此題也可用坐標方式來算

以B,C中點為原點, 把A,B,C標出坐標: A(0,3), B(-3,0), C(3, 0)
用分點公式可得P(-1,2), Q(2,1) ,
PQ之直線方程式為 x+3y=5 和 X軸交於 R(5,0)
QR之長 即可 算出為  根號 10

[ 本帖最後由 荷荷葩 於 2010-8-22 10:04 AM 編輯 ]

1. 一箱內有編號分別為 \(1\) 至 \(19\) 的十九個球，每次隨機取出一個球，紀錄其編號後放回箱內，以 \(P(n)\) 表示前 \(n\) 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 \(r\)、\(s\) 使得 \(P(10)=r+s P(9)\)，則 \(2r-s=\)______。

解答：

第十球為偶數的機率為 \(\displaystyle\frac{9}{19}\)，第十球為奇數的機率為 \(\displaystyle\frac{10}{19}\)，

前九球和為偶數的機率為 \(P(9)\)，前九球和為奇數的機率為 \(1-P(9)\)，

\(\displaystyle P(10)=\frac{9}{19}P(9)+\frac{10}{19}\left(1-P(9)\right)\)

　　\(\displaystyle=\frac{10}{19}+\left(\frac{-1}{19}\right)P(9).\)

\(\displaystyle\Rightarrow r=\frac{10}{19},\, s=\frac{-1}{19}.\)

如果把第 13 題的題目稍微修改一下，將 \(P,Q\) 改置於圓周上，也是不錯的考題：

修改版題目：平面上有一直徑 \(6\) 的半圓，\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點，\(A\) 為半圓上的中點，

在 \(AB\)弧  和 \(AC\)弧 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\)，

使得 \(\overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2\)，

直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點，求 \(\overline{QR}=\)？

解答：



如圖，依題意可得 \(\overline{PB}=\overline{QA}=2\overline{PA}=2\overline{QC}\)，

因此 \(∠ POQ = 90^\circ\)，可得 \(\overline{PQ}=3\sqrt{2}.\)

在 \(\triangle QCR\) 與 \(\triangle BPR\) 中，

因為 \(∠ R\) 相同且 \(∠ QCR=180^\circ-∠ QCO=∠ BPR\)

所以 \(\triangle QCR\) 相似於 \(\triangle BPR\)，

且因為 \(\overline{PB}:\overline{QC}=2:1\)，所以 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{\overline{PR}}{2}\)，

令 \(\overline{QR}=x\)，則 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}.\)

由圓的外冪性質，可得 \(\overline{QR}\times \overline{PR}=\overline{CR}\times \overline{BR}\)，

\(\displaystyle \Rightarrow x\cdot\left(x+3\sqrt{2}\right)=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{x+3\sqrt{2}}{2}+6\right)\)

可解得 \(x=4+\sqrt{2}.\)