99台北縣高中聯招

題目和答案如附件

填充題
4.已知拋物線\( y=x^2+(a+1)x+b \)通過\( (3,3) \)，其中a，b為固定的實數，且對任意的實數x，拋物線上的點\( (x,y) \)恆滿足\( y \ge x \)，則拋物線的頂點到原點的距離為？
[提示]
過點\( (3,3) \)的切線斜率為1，求出a

99彰化女中也有這題，感謝網友八神庵提示
https://math.pro/db/thread-952-1-1.html


5.\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2009^2}+\frac{1}{2010^2}} \)的值為？

設\( \displaystyle S=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2004^2}+\frac{1}{2005^2}} \)，求不大於S的最大整數[S]。
(建中通訊解題第四十期，95全國高中聯招)
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2007^2}+\frac{1}{2008^2}} \)之值是多少？
(2008TRML團體賽)


計算題
2.(1)若函數\( \displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+1} \)的值域是所有實數，則實數a必須在什麼範圍內？

此題無解，若將題目改為99彰化女中這題就有解了，感謝網友八神庵提示

x為實數時，若\( \displaystyle f(x)=\frac{ax^2+x+1}{x^2+x+a} \)為所有實數，則常數a之範圍為？
(99彰化女中，https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)
(93高中數學能力競賽　雲嘉區筆試二試題)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_02.pdf


2.(2)設\( a_1 \)，\( a_2 \)，...，\( a_n \)為任意的n個實數，試證：\( \displaystyle \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}} \ge \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \)。
[提示]
科西不等式
\( (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(1^2+1^2+...+1^2) \ge (a_1+a_2+...+a_n)^2 \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-23 08:52 PM 編輯 ]

請教選擇2...反函數不是f^(-1)...答案為什麼會是B? 謝謝~

甲y=f(x)
乙x=f^-1(y)......改寫成y=f^-1(x)
又乙與丙對稱於x+y=0
故x=-y,y=-x代入乙
得-x=f^-1(-y)
f(-x)=-y
y=-f(-x)

可以給點提示嗎??
我用正弦定理  求出\(\overline{CD}\)  與\(\overline{BC}\)的關係
但是無法證明

[ 本帖最後由 nathan 於 2011-6-21 06:07 PM 編輯 ]

你應該去找AB、CD和他們的夾角之間的關係

我想我當初的意思是要證明若AB和CD所夾銳角為 \( \theta \)，
則有 \( CD=AB \sin{\theta} \)
連OD會垂直AB於O；
取CD中點M，連OM會垂直CD於M；
那麼 \( \angle{DOM}=\theta \)
於是 \( DM=OD \sin{\theta} \)
兩倍後得到結論

提供兩個代數方法來處理
法1:
假設AC=x,CD=y,CB=z ,BD=a,AD=b (事實上,a=b)
由面積公式可得四邊形ADBC面積=(1/2)*x*y*sin(45度)+(1/2)*y*z*sin(45度)=(1/4)*2^0.5*y*(x+z)----------------(1)
在三角形ACD中,由餘弦定理得b^2=x^2+y^2-2xy*cos(45度)=x^2+y^2-2^0.5*xy-------------(2)
在三角形CDB中,由餘弦定理得a^2=y^2+z^2-2yz*cos(45度)=y^2+z^2-2^0.5*yz-------------(3)
(2)+(3)得b^2+a^2=x^2+2*y^2+z^2-2^0.5*y(x+z) 化簡得 2y^2=2^0.5*y(x+z)  (因為b^2+a^2=x^2+z^2)
所以 x+z =2^0.5*y-------------(4)
將(4)代入(1)可得所求=(1/2)*y^2=(1/2)*CD^2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-2-12 10:08 PM 編輯 ]

法2:   (其實做法大同小異)
承法1假設,又易知AD=BD,且OD垂直AB
連接OC,令OC=OA=OB=OD=r,角COB=θ,
四邊形ADBC面積=三角形ADB面積+三角形AOC面積+三角形COB面積
=(1/2)*(2r)*r+(1/2)*(r^2)*sin(180度-θ)+(1/2)*(r^2)*sin(θ)=r^2+r^2*sin(θ)---------------(1)
在三角形COD中,由餘弦定理得y^2=r^2+r^2-2*r*r*cos(90度+θ)=2*r^2+2*r^2*sin(θ)
所以r^2+r^2*sin(θ)=(1/2)*y^2------------(2)
將(2)代入(1),可得所求=(1/2)*y^2=(1/2)*CD^2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-2-12 10:12 PM 編輯 ]

翻越之前的紀錄，發現剛剛的方法有點拙。
AB和CD的夾角=(AD弧+BC弧)/2=(BD弧+BC弧)/2=角CAD
由正弦定理得到結論