99中壢高中二招

想請教填充題1、2、3、6、7
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幫您補上附件【99中壢高中第二次】


第 1、 6、7 題：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4494




第 2 題：已知正方形 \(ABCD\) 的兩頂點 \(A,B\) 在拋物線 \(y^2=x\) 上,且 \(C,D\) 在直線 \(L:\,y = x+4\) 上求正方形的面積?(二解)

解答：

令 \(A(a^2,a), B(b^2,b)\)，則

　1. 由 \(\overline{AB}\) 斜率為 \(1\)，可得 \(a+b=1.\)

　2. 以 \(A\) 為中心，將 \(B\) 旋轉 \(90^\circ\) 可得 \(D(a+a^2-b,a-a^2+b^2)\)

　　因為 \(D\) 在 \(y=x+4\) 上，所以可再得一個 \(a,b\) 的關係式。

由 1.&2. 解聯立，可得 \(a=-2,b=3\) 或 \(a=-1,b=2\)，

故，所求面積 \(=\overline{AB}^2=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)^2=50 \mbox{ 或 } 18.\)





第 3 題：\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=3,\overline{AC}=4,\overline{BC}=5\)，從 \(A, B, C\) 三點在平面 \(ABC\) 的同側, 分別各作與 \(ABC\) 平面垂直的線段 \(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\) 且 \(\overline{AD}=13,\overline{BE}=5,\overline{CF}=12\)，則五面體 \(ABCDEF\) 的體積為何？

解答：

令 \(A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,4,0), D(0,0,13),E(3,0,5),F(0,4,12)\)

所求體積\(=\mbox{三角錐}ABCF+\mbox{四角錐}ABEDF=60.\)

請問第四題答案為甚麼不是12?
第五題?

第五題：已知數列\(<a_n>\)滿足\(a_1=1\),\(a_{n+1}=3 a_n + 2n - 2 (\forall n \ge 1)\), 試求數列\(a_n\)的一般式為___________ .
希望尋求\(f(n)\)使得滿足\(a_{n+1}+f(n+1)=3\left(a_n+f(n)\right)\)，展開移項得\( a_{n+1} = 3 a_n+3f(n) -f(n+1)\)
令\(f(n)=an+b\)
帶入後整理與題目比較，可知\(a=1\),\(\displaystyle b=-\frac{1}{2}\)
\(a_n+f(n)=3\left(a_{n-1}+f(n-1)\right)\)
\(a_{n-1}+f(n-1)=3\left(a_{n-2}+f(n-2)\right)\)
\(a_{n-2}+f(n-2)=3\left(a_{n-3}+f(n-4)\right)\)
\(  \ldots \)
\(a_{2}+f(2)=3\left(a_{1}+f(1)\right)\)
將上列式子相乘整理，並且帶入初始值可得\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2} \cdot 3^n -n +\frac{1}{2}\)

第 4 題：若 \(s_1,s_2\) 為完全平方數且滿足 \(s_1-s_2=1989\), 則數對 \(\left(s_1,s_2\right)\) 共有____________組.


解答：

令 \(s_1=a^2, s_2=b^2\)，其中 \(a,b\) 為整數，

則 \(a^2-b^2=1989\Rightarrow \left(a-b\right)\left(a+b\right)=3^2\times13\times17\)

因為 \(3^2\times13\times17\) 有 \(\left(2+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=12\) 個正因數，

所以 \(3^2\times13\times17\) 有 \(24\)個因數。

因為 \(\displaystyle a=\frac{\left(a+b\right)+\left(a-b\right)}{2}, b=\frac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{2}\)

　且 \(3^2\times13\times17\) 的因數都是奇數

所以 \(\left(a,b\right)\) 共有 \(24\) 組。

故，\(\left(s_1,s_2\right)=\left(a^2,b^2\right)=\left(\left(\pm a\right)^2,\left(\pm b\right)^2\right)=\left(\left(\pm a\right)^2,\left(\mp b\right)^2\right)\) 共有 \(\displaystyle\frac{24}{4}=6\) 組。

填充題
9.試由\( (-1,-3) \)對拋物線Γ：\( y=x^2 \)作切線，得兩切線\( L_1，L_2 \)，則由Γ，\( L_1，L_2 \)所圍成的面積為？

求過\( \displaystyle P( \frac{3}{2},3) \)而與拋物線τ：\( y=-x^2+4x-3 \)相切的二切線與拋物線τ所圍區域的面積為？
(98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-2.html)
老王有這類問題的好解法


計算題
1.在l：\( x+y-5=0 \)上找一點\( P(x,y) \)，使得點\( P(x,y) \)對\( A(1,0) \)，\( B(3,0) \)的夾角\( ∠APB為最大時 \)，P點坐標為何？(其中\( P \in \)第一象限)

(出處：奧數教程高二　第13講　直線)
書上的解法就和學校公佈的方法差不多，我就不附圖檔了
改用最大視角來解的話會比較方便
當圓和直線相切時就有最大視角
\( \overline{PC}^2=\overline{AC} \times \overline{BC} \)

在99全國高中聯招還有關於最大視角的題目
https://math.pro/db/thread-978-1-1.html

想請教填充第10題......感謝.......

填充第 10 題

三次多項式函數無極值 \(\Rightarrow b^2-3ac\leq0\Rightarrow b^2\leq3ac\)

\(\displaystyle \frac{f\left(1\right)}{f''\left(0\right)}=\frac{a+b+c}{2b}=\frac{1}{2}+\frac{\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}{2}\)

　　\(\displaystyle \geq\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{ac}{b^2}}\geq\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

f:N->N
(1)f為遞增
(2)m,n自然數, f(mn)=f(m)f(n)
(3) m不等於n , 且m^n=n^m 則f(m)=n或f(n)=m
求f(6)

謝謝

由(3)可知 故f(2)=4 或f(4)=2......(不合)
所以f(2)=4  f(4)=f(2)×f(2)＝16  設f(3)=k ，4＜k＜16
f(9)＝f(3)×f(3)＝k^2       f(8)＝f(4)×f(2)＝64     f(9)>f(8)  所以k>8
又  f(27)=k^3  且 f(32)=f(4)f(8)=1024      f(32)>f(27)   所以k<11   
故k＝9或10   若k＝9，則 f(6)=f(2)f(3)=36
              若k＝10，則  f(6)=f(2)f(3)=40