101松山家商

如題
請享用

不好意思,想請教填充5 , 8 , 9 (印象中第8題好像哪裡看過...)

第5題
設\(x,y\)均大於0，則聯立方程組\(\cases{\displaystyle \frac{4x+3y-6}{4x+3y}=\frac{2}{\sqrt{x}}\cr \frac{4x+3y+6}{4x+3y}=\frac{4}{\sqrt{y}}}\)之解\((x,y)\)為　　　。
[解答]
\(\displaystyle z=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle \frac{4}{x}=1-2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}=1+2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}-\frac{4}{x}=4z \)
\(\displaystyle \frac{4x-y}{xy}=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle 16x^2+8xy-3y^2=6xy \)
\(\displaystyle (8x-3y)(2x+y)=0 \)
\(\displaystyle 8x=3y \)
\(\displaystyle 1-\frac{6}{12x}=\frac{2}{\sqrt x} \)
\(\displaystyle 2x-4\sqrt x-1=0 \)
\(\displaystyle \sqrt x=\frac{2+\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{5+2\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle y=\frac{20+8\sqrt6}{3} \)


第8題
令\(\Delta ABC\)的外心為\(O\)，垂心為\(H\)。若\(\Delta ABC\)的外接圓半徑為3，\(∠A=60^{\circ}\)，\(∠B=45^{\circ}\)，則\(\overline{OH}^2\)之值為　　　。
[解答]
由尤拉線性質知道
\(\displaystyle \vec{OH}=3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC} \)
然後就平方計算

謝謝老王,原來是尤拉線!

第九題
h ttp://project.hgsh.hc.edu.tw/DataBase/169.pdf(連結已失效)

不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝

計算三：
已知\( a_0=1 \)，且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \)，其中\( n \)為任意正整數。試證：\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \)，\( n \in N \)。
[解答]
我的方法參考看看  (我算了我總分扣填充題的得分,發現我這題應該有拿到分數)
\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
＜處，需再證：\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分，即可證明

填充第二題：
設\( \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1-3x} \)。令\( f_1(x)=f(f(x)) \)，且\( f_n(x)=f(f_{n-1}(x)) \)，\( n \ge 2 \)且\( n \in N \)，則\( f_{2012}(2012) \)之值為　　　。
[解答]
\( \displaystyle f_1(x)=\frac{1+f(x)}{1-3f(x)}=\frac{1-x}{-1-3x} \)，\( \displaystyle f_2(x)=\frac{1+f_1(x)}{1-3f_1(x)}=x \)，\( \displaystyle f_3(x)=\frac{1+f_2(x)}{1-3f_2(x)}=f(x) \)，…
每三個一循環，故\( f_{2012}(x)=f_2(x)=x \)


填充第三題：
若\( z \)為複數，\( \displaystyle arg(z^2-8)=\frac{5 \pi}{6} \)，\( \displaystyle arg(z^2+8)=\frac{\pi}{8} \)，則\( z \)之值為　　　。
[解答]
\( z^2+8=(a+bi)^2+8=8(cos 60^\circ+i sin 60^\circ) \)　即可解出\( z \)



填充第四題：
在袋中有紅球、白球各100個，每次從中取出一個球，若為紅球即得1分，白球不計分，滿足下列任一條件即停止：(1)得分達5分，(2)取出球數達10個。試問取球過程會出現幾種不同的方法？　　　。
[解答]
(5紅)+(球數達10顆)\( =[C_4^4+C_4^5+C_4^6+C_4^7+C_4^8+C_4^9]+[C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}+C_4^{10}]=638 \)

有高手可以幫忙解答第一題嗎?   orz

1.
\( \matrix{& & & & 1 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 5 & & 6 & & 5 & &  \cr
& 7 & & 11 & & 11 & & 7 & \cr
9 & & 18 & & 22 & & 18 & & 9} \)
如右圖所示，令第i行第k個數字為\( f(i,k) \)，此圖中之規則為\( f(i,1)=2i-1=f(i,i) \)，且\( f(i,k)=f(i-1,k-1)+f(i-1,k) \)，其中\( 2 \le k \le i-1 \)。則\( f(i,3) \)之值為？
[解答]
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
-3 & & 0 & & 2 & & 5 & & 11 & & 22 & & 40 \cr
& 3 & & 2 & & 3 & & 6 & & 11 & & 18 & \cr
& & -1 & & 1 & & 3 & & 5 & & 7 & & \cr
& & & 2 & & 2 & & 2  & & 2 & } \)
\( f(n)=-3 \times C_0^n+3 \times C_1^n-1 \times C_2^n+2 \times C_3^n \)
我的教甄準備之路　找出圖形的規律 有更多類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274


6.
已知\( n \in N \)，且n為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_n^n \)之值為

求\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3m-3}^n+C_{3m}^n \)，其中\( 3m \)是不大於n的最大的3的倍數
神奇的複數　如何利用複數解中學數學難題P24
\( \displaystyle \frac{1}{3}(2^n+2cos\frac{n \pi}{3}) \)

觀察\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_n^n=(C_0^n+C_3^n+C_6^n+...)+(C_1^n+C_4^n+...)+(C_2^n+C_5^n+...) \)
令\( \displaystyle A=C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3k}^{3k} \)，\( \displaystyle B=C_1^{3k}+C_4^{3k}+...+C_{3k-2}^{3k} \)，\( k \in N \)
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。
(100桃園縣現職教師高中聯招，https://math.pro/db/thread-1106-1-1.html)


計算與證明題
1.
設\( a>b>0 \)，則橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)之內接三角形面積最大値為何？試證之。
老王的夢田
橢圓內接面積最大三角形(上)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122072
橢圓內接面積最大三角形(下)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122069