一、多重選擇題
1.
設銳角三角形 ABC 中， D 為 BC 的中點，由 D 向 AB,AC 作垂線，垂足分別為 E,F，
若 AE:EB=7:5，AF:FC=5:3，a,b,c 分別表示 ∠A,∠B,∠C 的對邊長，則
(A) \displaystyle\cos B=\frac{5c}{6a}.
(B) \displaystyle\cos C=\frac{3b}{4a}.
(C) \cos A<0.
(D) 若 a = 4，則 \triangle ABC 的面積為 23.
(E) c = \sqrt{3} 時，則 a = b^2。
[解答]
(A) \displaystyle\cos B=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{5c}{12}}{\frac{a}{2}}
=\frac{5c}{6a}.
(B) \displaystyle\cos C=\frac{CF}{CD}=\frac{\frac{3b}{8}}{\frac{a}{2}}
=\frac{3b}{4a}
(C) 因為 \triangle ABC 為銳角三角形，所以 \cos A>0.
(D) 若 a = 4 時，令 x=AD，則
\displaystyle x^2-\left(\frac{7c}{12}\right)^2=2^2-\left(\frac{5c}{12}
\right)^2
且 \displaystyle x^2-\left(\frac{5b}{8}\right)^2=2^2-\left(\frac{3c}{8}
\right)^2
且 b^2+c^2=2\left(x^2+2^2\right)
由以上三式，可解得 b^2=8,c^2=12,x^2=6
\Rightarrow AB=2\sqrt{3},AC=2\sqrt{2}
再用畢氏定理求出 DE,DF，則三角形 ABC 面積可得。
(E) 當 c = \sqrt{3} 時，
利用同 (D) 選項的式子，可得 \displaystyle a=2,b=\sqrt{2},AD=\frac{\sqrt{6}}{2}.
