一、單選題
1.
設\(\{\;a_n \}\;\)為一數列，且\(a_n\ne 0\)，其中\(n=1,2,3,\ldots\)，如果\(a_1=97\)，且當所有正整數\(n>1\)時，\(\displaystyle a_n=\frac{n}{a_{n-1}}\)，則當前10項的乘積\(a_1a_2a_3\ldots a_{10}\)之值為下列何者？
(A)960 (B)1920 (C)3840 (D)7680
Let \(x_1=97\), and for \(n>1\), let \(\displaystyle x_n=\frac{n}{x_{n-1}}\). Calculate the product \(x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7x_8\).
(1985AIME，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_1)
8.
設\(x,y\)為實數，如果\(tanx+tany=25,cotx+coty=30\)，則\(tan(x+y)\)之值為下列何者？
(A)60 (B)120 (C)150 (D)180
If \(tanx+tany=25\) and \(cotx+coty=30\), what is \(tan(x+y)\)?
(1986AIME，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_3)
9.
試問\(41^{48}\)除以100的餘數為下列何者？
(A)11 (B)21 (C)41 (D)81
10.
設\(a,b,c,d\)為正整數，如果\(a^5=b^4,c^3=d^2\)，且\(c-a=19\)，則\(d-b\)之值為下列何者？
(A)243 (B)729 (C)757 (D)919
Assume that \(a,b,c\) and \(d\) are positive integers such that \(a^5=b^4,c^3=d^2\), and \(c-a=19\). Determine \(d-b\).
(1985AIME，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_7)
11.
已知函數\(\displaystyle f(x)=\frac{9x^2sin^2 x+4}{xsinx}\)，其中\(0<x<\pi\)，則函數\(f(x)\)在\(0<x<\pi\)之最小值為下列何者？
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18
(1983AIME，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_9)
12.
已知一多項式\(f(x)=x^{2025}(x^2+ax+b)\)，其中\(a,b\)為實數，如果將\(f(x)\)除以\((x-2)^2\)，得到餘式為\(2^{2025}(x-2)\)，則\(b=\)？
(A)\(-3\) (B)\(-2\) (C)2 (D)3
15.
設一函數\(f\)之定義域為所有正整數，如果\(f(1)=101\)，且對所有正整數\(n>1\)，\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=n^2f(n)\)都成立，則\(f(100)\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{100}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{50}\) (C)\(\displaystyle \frac{100}{101}\) (D)1
20.
已知\(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\)的值正好都是\(-1,0,1\)中的數，則\(a_0+3a_1+3^2a_2+3^3a_3+3^4a_4\)的值是正整數共有多少個？
(A)121 (B)122 (C)123 (D)124
21.
如右圖，正方形\(ABCD\)中，其邊長為1，將每邊作\(n\)等分，其中\(n\)為正整數，且點\(E,F,G,H\)都是各邊上的等分點，使得\(\displaystyle \overline{BE}=\overline{CF}=\overline{DG}=\overline{AH}=\frac{1}{n}\)；分別作\(\overline{AF},\overline{CH},\overline{BG},\overline{DE}\)，此四線段分別交於\(P,Q,R,S\)四點。如果四邊形\(PQRS\)的面積為\(\displaystyle \frac{1}{421}\)，試問\(n\)值為下列何者？
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
A small square is constructed inside a square of area 1 by dividing each side of the unit square into \(n\) equal parts, and then connecting the vertices to the division points closest to the opposite vertices. Find the value of \(n\) if the the area of the small square is exactly \(\displaystyle\frac1{1985}\).
(1985AIME，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_4)
24.
直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，且斜邊\(\overline{AB}=35\)。今在三邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)及\(\overline{BC}\)上分別取一點\(E,D,F\)，使得四邊形\(CDEF\)為一正方形，且其邊長為12，如右圖所示，則直角三角形\(ABC\)之二股長之和為下列何者？
(A)25 (B)28 (C)31 (D)49
29.
如右圖，將邊長為9的正三角形沿著水平線翻滾2次，求\(A\)點從開始到結束所經過的路線長？
(A)\(27\pi\) (B)\(18\pi\) (C)\(15\pi\) (D)\(12\pi\)
35.
把0、1、2、3四個數字組成數字不重複的四位數，例如：2341，請問這些四位數的總和是多少？
(A)38,664 (B)39,996 (C)33,330 (D)29,997
43.
已知投擲某枚硬幣，已知出現正面的機率為\(p\)，出現反面的機率為\((1-p)\)。現投擲此硬幣\(n\)次，在投擲的過程中，第一次正面出現時，可獲得1元，第二次正面出現時，可再獲得2元，第三次正面出現時，可再獲得3元，依此類推。請問下列敘述何者正確？
(A)總共得到\(\displaystyle \frac{1}{2}(n^2-n)\)元的機率為\(\displaystyle \frac{n}{2}(p^{n-1}-p^n)\)
(B)投擲硬幣第二次之後，累計獲得1元的機率為\(2(p-p^2)\)
(C)若\(n\)次投擲中出現正面\(r\)次，總共可拿到\(\displaystyle \frac{1}{2}(r^2-r)\)元
(D)若\(n\)次投擲後累計獲得3元，其機率為\(\displaystyle C_3^n p^3(1-p)^{n-3}\)
44.
已知\(P(a,b)\)為橢圓\(4(x+1)^2+(y-2)^2=16\)上的一點，請問\(3a+2b-2\)的最小值為何？
(A)11 (B)9 (C)\(-9\) (D)\(-11\)
48.
在平面直角坐標系中，考慮拋物線\(y=12-x^2\)與\(x\)軸所圍成的封閉區域。欲在此區域內畫一個矩形，使其一邊在\(x\)軸上，其餘兩頂點在拋物線上。請求出此矩形的最大可能面積為何？
(A)64 (B)\(16\sqrt{3}\) (C)32 (D)16
50.
在空間中，給定兩歪斜線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-7}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-10}{-2}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y-9}{-2}=\frac{z-2}{1}\)。若在直線\(L_1\)上取一點\(P\)，在直線\(L_2\)上取一點\(Q\)，使得線段長\(\overline{PQ}\)最短，試求\(\overline{PQ}\)距離為何？
(A)\(2\sqrt{7}\) (B)\(\displaystyle \frac{12\sqrt{2}}{5}\) (C)\(\sqrt{17}\) (D)3
