113彰化女中代理

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4.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right)=\)　　　
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

6.
已知空間中兩點\(A(1,2,3)\)，\(B(2,1,-1)\)，動點\(P(t,2t+1,2t),t\)為實數，若\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時，此時\(t=\)　　　
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

9.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{3n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}\right)=\)　　　
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

11.
有一個立體圖形的底面是一個半徑為 1 的圓，某個同方向的所有截面都是正三角形，求此立體圖形的體積為　　　

https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1652798930.A.FB0.html

12.
農夫有一塊正方形的田地，已知該田地的四個邊界剛好各有一口水井，而已都不是在正方形的頂點上，若將該田地座標化且選取一定點為原點後，則四口水井的座標依順時針方向分別為\((0,8)\)、\((9,2)\)、\((6,0)\)、\((-5,4)\)，試問滿足該四口水井位置的最大田地面積為　　　平方單位。
(110北模數學A，https://math.pro/db/thread-3879-1-1.html)

16.
在坐標平面上，\(A\)點坐標為\((8,0)\)，\(B\)點坐標為\((0,6)\)，\(P\)為圓：\(x^2+y^2=16\)上的動點，求\(3\overline{PA}+2\overline{PB}\)的最小值=　　　

坐標平面上有兩定點\(A(-1,0)\)、\(B(1,1)\)，\(P\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上一點，則\(2\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值為　　　。
(113文華高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3836&page=3#pid25859)

在坐標平面上，若\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1\)、\(A(9,0)\)、\(B(7,7)\)，且動點\(P\)在\(\Gamma\)上，試求：\(5\overline{PA}+3\overline{PB}\)的最小值為。
(113嘉科實中，聯結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3842&page=1#pid26247)

17.
六個人進行籃球傳球訓練，每人接到球後要傳給別人，開始時由甲將球傳給其他人，若第七次傳球結束後，球在甲手上，試問共有多少種不同的傳球方式？

甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有幾種不同的傳球方法？
(A)156　(B)258　(C)342　(D)514
(110全國高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3530&page=1#pid23123)

乍看之下好像都是黎曼和，想說是不是弄錯了，仔細算了一下才發現不一樣。

第4題
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right)=\)　　　
[解答]
(黎曼和)
\( \displaystyle  \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^2 +2n}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 +4n}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 +2n^2}} = \frac{1}{2}  \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{2}{n} ( \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{2}{n}}} + \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{4}{n}}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{2n}{n}}} = 0.5 \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{1+x}}  \mathrm{d} x =0.5*2 (\sqrt{1+x}  |^2_0) = \sqrt{3} -1 ) \)

第9題
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{3n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}\right)=\)　　　
[解答]
(夾擠定理)
\( \displaystyle  \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{2n}{\sqrt{3n^2 }} = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{3n^2 }} + \frac{1}{\sqrt{3n^2 }} + ... + \frac{1}{\sqrt{3n^2}} ) > \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{3n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{3n^2 + 2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{3n^2 + 2n}} ) > \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{3n^2 +2n }} + \frac{1}{\sqrt{3n^2 +2n }} + ... + \frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 +2n}} \)
故 \( \displaystyle  \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{2n}{\sqrt{3n^2 }} > 原式 > \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 +2n}} \)，又\( \displaystyle  \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{2n}{\sqrt{3n^2 }} = \frac{2}{\sqrt{3}}、 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 +2n}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)，所以所求為 \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} \)

請教16題，好像跟您放的連結不太一樣.

謝謝您囉！

第 16 題
在坐標平面上，\(A\)點坐標為\((8,0)\)，\(B\)點坐標為\((0,6)\)，\(P\)為圓：\(x^2+y^2=16\)上的動點，求\(3\overline{PA}+2\overline{PB}\)的最小值=　　　
[解答]
P(x，y)，M(0，m)
令 PM = (2/3)PB
9PM^2 = 4PB^2
9x^2 + 9(y - m)^2 = 4x^2 + 4(y - 6)^2
5x^2 + 5y^2 - 6(3m - 8)y + (9m^2 - 144) = 0
80 - 6(3m - 8)y + (9m^2 - 144) = 0
6(3m - 8)y - (9m^2 - 64) = 0
(3m - 8)(6y - 3m - 8) = 0
m = 8/3，M(0，8/3)

3PA + 2PB = 3[PA + (2/3)PB] = 3(PA + PM) ≧ 3AM = 8√10

真美的解法！利用阿波尼斯圓找出圓內的M點

AM跟圓的交點根本不是有理數，難怪我用sin,cos下去微分根本沒辦法。

謝謝鋼琴大大。

在\(\Delta ABC\)的邊\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)的外側分別作正三角形\(\Delta ABE\)及\(\Delta ACF\)。已知\(\overline{AC}=1\)且\(\overline{EF}=2\)，求\(\Delta ABC\)面積的最大可能值　　　
[解答]
不知道有沒有簡單點的解法
這樣做考試時太花時間ㄌ

第 18 題
110 高中數學能力競賽決賽 口試題
https://math.pro/db/thread-3612-1-2.html

去年師大附中也考過這題

謝謝鋼琴大告知。

看到解答了。
真的妙啊，中間的轉折成圓的方程式真是神來一筆。

我正在想說萬一我微分又是像昨天那題3PA+2PB的解不出根的該怎麼辦？

真是感謝。


看樣子競賽的題目很多這種需要神來一筆的技巧的。

各位老師好，想請教填充題14，謝謝各位老師。