112基隆女中

112基隆女中教師甄選
數學科試題及答案

一、填充題
3.
將十個半徑為1的球堆成一個三角垛，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為　　　

7.
已知有甲、乙、丙、丁四座城市，某商人最初待在甲城市，為了販賣商品，每日會從所在城市移動到其他三座城市的其中一座，移動到任一座的機會皆相同，則三日後他在乙城市的機率為何？

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3165&page=2#pid20278

二、計算題
1.
比較\(e^{\pi}\)與\(\pi^e\)的大小。

\(e\)為自然常數：
(1)\(\pi^e\)與\(e^{\pi}\)何者較大？
(2)試證明之。
(111彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3649&page=1#pid24226)

8.
平面上，\(P\)為\(\overline{AB}\)上一點滿足\(\overline{AP}=5\)且\(\overline{BP}=3\)，\(Q\)為平面上一點滿足\(\overline{AQ}=7\)且\(\overline{BQ}=3\)，若以\(\overline{AB}\)為直徑作一圓\(C\)，自\(P\)向\(Q\)作射線\(PQ\)交圓\(C\)於點\(R\)，試求\(\overline{PR}\)的長度。
[解答]
cosABQ=(8^2+3^2-7^2)/(2*8*3)=1/2 => 角BPQ=60度,
設圓心為C(0,0),P(1,0),PR=t => R(1+t/2,ㄏ3/2*t)
CR^2=1+t+t^2/4+3t^2/4=t^2+t+1=4^2 => t^2+t-15=0 , t=(-1+ㄏ(1^2-4*1*(-15)))/(2*1)
故所求=t=(-1+ㄏ61)/2

2.
\([\phi^{2023}]\)的個位數為　　　。(\(\phi \approx 1.618\)為黃金比例)
[解答]
令 a=(1+ㄏ5)/2為黃金比例 , b=(1-ㄏ5)/2 , f(n)=a^n+b^n
則 a,b 是 x^2=x+1 的兩根 , 易知 f(n+2)=f(n+1)+f(n) , f(1)=1,f(2)=3
觀察 f(n)除以10之餘數得 1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2  ,1,3........ 可知是12個一循環 , 2023=12*168+7
故 f(2023)=a^2023+b^2023除以10之餘數=f(7)除以10之餘數=9, 又 -1<b^2023<0 => [a^2023] 除以10之餘數=9 即為所求

想問6，11，證明2

填充 5.
從集合\(\{\;0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\;\)中隨機選取4個互不相同的數，則其中任意兩個數的和均不等於10的機率為　　　。
[解答]
將和為 10 的兩數分成一組，以及單獨 5 一個數一組，可得以下
\( (0,10), (1,9), (2,8), (3,7), (4,6) \) 及 5
欲使選取到的數，任兩個的和均不等於 10
則每組至多取一數
再分成沒5和有5的情況
故所求 \(\displaystyle \frac{C^5_4 \times 2^4 + C^5_3 \times 2^3}{C^{11}_4} = \frac{16}{33} \)

填充11.
已知三直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{4}=\frac{z+1}{3}\)，\(L_3\)：\(\displaystyle \frac{x-4}{4}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}\)，若直線\(L_1\)與\(L_2\)、\(L_3\)均相交，求\(a:b:c=\)　　　。(以最簡整數比表之)
[解答]
令 \( P(2+2t,-2+4t,-1+3t) \) 為 \( L_{1} \) 和 \( L_{2} \) 的交點，顯然 \( P \) 非原點。

令 \( Q(4+4s,-1+2s,2+3s) \) 為 \( L_{1} \) 和 \( L_{3} \) 的交點。

以上兩點均在 \(\displaystyle L_{1}:\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} \) 且 \( P \) 非原點，故存在實數 \( k \) 滿足

\( k(2+2t,-2+4t,-1+3t)=(4+4s,-1+2s,2+3s) \)

\( \Rightarrow\begin{cases}
2k+2kt & =4+4s\\
-2k+4kt & =-1+2s\\
-k+3kt & =2+3s
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
6k & =9+6s\\
8k & =8+6s
\end{cases} \)

\( k=-\frac{1}{2}, s=-2, t=3 \)

故\(  P \)  之坐標為 \( P(-4,-5,-4) \)，所求 \( a:b:c=4:5:4 \)

tsusy解的是填五~ 他問填六

填充第 6 題
設坐標平面上三點\(A(1,0)\)、\(B(0,1)\)、\(P(x,y)\)，已知經平面線性變換\(T\)作用後，\(A\)點被映射至點\(A'(1,\sqrt{3})\)、\(B\)點被映射至點\(B'(-\sqrt{3},1)\)，而\(P\)點被映射至點\(P'\)。若點\(P\)先對直線\(L\)：\(y=2x\)鏡射，再經過\(T\)作用後，其結果相當於點\(P\)先經過\(T\)作用，再對直線\(L'\)：\(y=mx\)鏡射，則\(m\)之值為　　　。
[解答]
矩陣 T =
[1   -√3]
[√3    1]

不妨設 P(2，-1)，它對 y = 2x 鏡射後是 Q(-2，1)
Q 經 矩陣 T 變換後是 Q'(-2 - √3，1 - 2√3)
P 經 矩陣 T 變換後是 P'(2 + √3，-1 + 2√3)
直線 P'Q' 的斜率 = -1/m
求出 m = (-8 - 5√3) / 11