1.
記號\([a]\)表示小於或等於\(a\)的整數中最大的。例如\([3.12]=3\)，求\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{[\sqrt{1936}]}+\frac{1}{[\sqrt{1937}]}+\frac{1}{[\sqrt{1938}]}+\ldots+\frac{1}{[\sqrt{2024}]}}\)的值？
2.
有很多塊邊長為1單位的正方形磁磚，其中分成
斜線圖樣磁磚和
純白磁磚兩種。請用這些磁磚按照下面規則，
依序組出邊長為1、2、3……的正方形區塊(如下方示意圖)。
⚫ 邊長為1的正方形由 1塊斜線磁磚組成。
⚫ 邊長為\(n\)的正方形區域，最左下角為斜線圖樣磁磚，且相鄰磁磚為不同形式。
試問：若正方形區域共使用斜線磁磚總數為221個，這個正方形區域的邊長是？
▨ \(\matrix{☐▨\cr ▨☐}\) \(\matrix{▨☐▨\cr ☐▨☐ \cr ▨☐▨}\) …
[解答]
斜線磁磚總數為221個為奇數，正方形邊長也為奇數
\(\matrix{&&a_1&&a_2&&a_3&&a_4\cr
&&邊長1&&邊長3&&邊長5&&邊長7\cr
1&&1&&5&&13&&25\cr
&0&&4&&8&&12&\cr
&&4&&4&&4&&}\)
\(a_n=1C_0^n+0C_1^n+4C_2^n=2n^2-2n+1\)
\(2n^2-2n+1=221\)，\(n^2-n-110=0\)，\((n-11)(n+10)=0\)，\(n=11\)，正方形邊長\(=2\times 11-1=21\)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)
3.
實數數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(\displaystyle a_{n+1}=\left(1-\frac{1}{(n+1)^2} \right)a_n\)，其中\(n\)為正整數，求\(\displaystyle \frac{a_{100}}{a_1}=\)？
6.
請計算\(\displaystyle \frac{1}{1\times 4}+\frac{1}{2\times 5}+\frac{1}{3\times 6}+\frac{1}{4\times 7}+\ldots+\frac{1}{n(n+3)}+\ldots=\)？
7.
已知一元二次方程式\(2x^2-x-a=0\)，其中\(a>0\)。若\(a=1,2,3,\ldots,n\)所對應的一元二次方程式的兩根為\(\alpha_n\)與\(\beta_n\)，則請問\(\displaystyle \left(\frac{1}{\alpha_1}+\frac{1}{\beta_1}\right)\times \left(\frac{1}{\alpha_2}+\frac{1}{\beta_2}\right)\times\ldots \times\left(\frac{1}{\alpha_9}+\frac{1}{\beta_9}\right)\)的值？
8.
正方形\(ABCD\)的兩頂點\(A\)、\(B\)在二次函數\(y=x^2\)上，\(C\)、\(D\)兩點在\(y=x-2\)上，求此正方形邊長？
已知正方形 \(ABCD\) 的兩頂點 \(A,B\) 在拋物線 \(y^2=x\) 上,且 \(C,D\) 在直線 \(L:\,y = x+4\) 上求正方形的面積?(二解)
(99中壢高中二招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2436)
9.
試求\(5+\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2-8x+52}\)的最小值(\(x\)為實數)。
10.
已知平面上四點\(A(0,0)\)、\(B(2,5)\)、\(C(3,4)\)、\(D(4,0)\)，過\(A\)點的一條直線將四邊形\(ABCD\)切成面積相等的兩部份，且此直線與\(\overline{CD}\)交於\(\displaystyle \left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right)\)，\(\displaystyle \frac{p}{q}\)、\(\displaystyle \frac{r}{s}\)皆為最簡分數，則\(p+q+r+s=\)？
11.
水平桌面上放有四個半徑為4的球，且相鄰的球都相切，在此四球的上面放置一個半徑為2的小球，它和底下的四個球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面的距離為何？
將十個半徑為1的球堆成一個三角垛，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為
(112基隆女中，
https://math.pro/db/thread-3748-1-1.html)
12.
設\(f(x)\)是三次實係數多項式函數滿足\(|\;f(1)|\;=|\;f(2)|\;=|\;f(3)|\;=|\;f(5)|\;=|\;f(6)|\;=|\;f(7)|\;=18\)。試求\(|\;f(0)|\;\)之值。
