兩題問題請教

1.試求滿足以\(cos 9^。\)為根的最小整係數方程式

2.設ABCDP五點共面,已知2\(\vec{AB}+3\vec{AC}=5\vec{AD}\),7\(\vec{BP}+3\vec{CP}=6\vec{AP}\),若四邊形ABPC的面積為50,求\(\triangle{ABC}\)之面積

1.想請問除了正規考慮cos18度的半角以外 能不能用複數的方式去解

第1題

第2題

感謝Lopez大的回覆
這一題解答給的作法是考慮\(sin2\theta=sin(90 ^。-3\theta) \)=\(cos3\theta\)
其中\(\theta=18 ^。\)
化簡可得\(2sin\theta=4cos^2\theta-3\)
又因為\(\displaystyle sin\theta=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \),\(\displaystyle cos\theta=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\)
得\(cos9^。 \)=\(\displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+4}{8}}=x\)
平方化簡得\(\displaystyle 8x^2-4=\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)
再平方化簡一次得\(256x^8-512x^6+304x^4-48x^2+1=0\)

小弟一開始也是和您一樣的做法,不過是考慮10次方的情況
得到的答案於您相同
剛剛用Wolfram Alpha驗算是否有無計算錯誤的同時
Wolfram Alpha給了一個另外的形式
\(512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1=(2x^2-1)(256x^8-512x^6+304x^4-48x^2+1)\)
是否用複數的算法有不小心增根 導致答案可以再分解

補充資料
1.假設以\(cos9^{\circ}\)為一根的最小整係數方程式為\(f(x)=0\)，求\(f(x)=\)？
2.承第1題，求方程式\(f(x)=0\)的所有根。

感謝bugmens老師的資料提供
稍微把過程整理一下

利用複數的方式求出的方程式
\(512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1\)
其中會包含到\((x-cos45^。)(x-cos135^。)\)兩個式的相乘,這兩式相乘起來為\(2x^2-1\)
所以可以得到原式為\((2x^2-1)(256x^8-512x^6+304x^4-48x^2+1)\) 後面的才是最小次數的整係數解

依照此觀念 如果是處理滿足\(cos10^。\)為解的最小次方整係數方程式
考慮其6次方 用複數的方式將方程式弄出來後
需在除以\((2x-1)\)才會得到真正最小次方整係數方程式

如果沒有考試時間的限制，也可以自己推導cosθ的五倍角公式(利用和角公式與兩倍角公式、三倍角公式)，得
cos5θ=16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ
令cos9°=x，則cos(5*9°)=cos45°=1/√2=16x^5-20x^3+5x
兩邊平方再化簡，也是得512x^10-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1=0
不過正如您所言，這有增根的問題，x還可以等於cos135°與cos225°
所以那個8次式才是次數最小的