只有看到公告題目，目前未見數學科的公告答案。

https://teacher.hchs.kh.edu.tw/

1.
設\(m\)與\(n\)均為正實數，且滿足\(log_9m=log_{12}n=log_{16}(m+n)\)，試問\(\displaystyle \frac{n}{m}\)之值為　　　

Suppose that p and q are positive numbers for which \( \displaystyle log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q) \)what is the value of \( \displaystyle \frac{q}{p} \)?
(1988AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_26)

7.
設兩複數\(z_1\)與\(z_2\)滿足\(|\;z_1|\;=|\;z_1+z_2|\;=3\)，\(|\;z_1-z_2|\;=3\sqrt{3}\)，則\(\displaystyle log_3|\;(z_1\cdot \overline{z_2})^{100}+(\overline{z_1}\cdot z_2)^{100}|\;\)的值為何？　　　

設\(z_1,z_2\)為複數，\(|\;z_1|\;=|\;z_1+z_3|\;=3\)，\(|\;z_2-z_1|\;=3\sqrt{3}\)，求\(log(|\;(z_1\overline{z_2})^{2000}+(\overline{z_1}z_2)^{2000}|\;)=\)？
(2008TRML團體賽，100家齊女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid9356)

8.
設空間中兩點\(A(-4,2,5),B(5,5,-1)\)，與直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+5}{-2}\)。在\(L\)上找一點\(P\)，試求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)最小值為　　　

9.
已知\(A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)\)，\(O\)為原點，若四面體\(OABC\)之體積被平面\(\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{k}=1\)所平分，試求實數\(k\)為　　　

10.
假設以\(cos9^{\circ}\)為一根的最小次數整係數方程式為\(f(x)=0\)，求\(f(x)=\)　　　。
連結有解答https://math.pro/db/thread-3480-1-1.html

15.
如圖(一)，正方形\(ABCD\)內部一點\(P\)，\(\overline{PD}=5\sqrt{2},\overline{PB}=4\sqrt{2},\overline{PA}=3\)，求正方形\(ABCD\)面積=　　　
(建中通訊解題第17期，連結有解答https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... 09345be78/56-59.pdf)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973

我的想法是找出截面三角形的三頂點後，用行列式算上半部體積=1/2
然而這樣算數字很醜
請教老師們的解法
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已解決，計算有誤

我將兩向量假設成(10,0)和(0,5)
但是一直解不出來……

對於這題證明沒什麼頭緒，請教老師們的解法，謝謝

我一開始用內積列式>微分求極值，很難算。後來用斜率、斜角有比較好算

第 13 題
寫出幾項 a_n，可猜到 2^(n + 2) - 7(a_n)^2 = [2a_(n + 1) + a_n]^2
然後用數學歸納法證明

(1) n = 1 時，2^3 - 7(a_1)^2 = (2a_2 + a_1)^2 = 1

(2) 設 n = k 時，2^(k + 2) - 7(a_k)^2 = [2a_(k + 1) + a_k]^2

(3) n = k + 1 時
2^(k + 3) - 7[a_(k + 1)]^2
= 2{7(a_k)^2 + [2a_(k + 1) + a_k]^2} - 7[a_(k + 1)]^2
= [a_(k + 1)]^2 + 8[a_(k + 1)](a_k) + 16(a_k)^2
= [a_(k + 1) + 4(a_k)]^2
= [-2a_(k + 1) - 4(a_k) + a_(k + 1)]^2
= [2a_(k + 2) + a_(k + 1)]^2

可以請老師再說明一下嗎？是指用差角公式計算嗎？

填6
抱歉，早上po的另解有誤，為怕誤導考生，先行移除，但若要搭配正弦定理思考，不妨可先求出外接圓圓心的軌跡方程式(9-2k,-3k/2-40/k+18)，從ggb可發現夾角最大必為外接圓半徑最小之時，且外接圓半徑最小時，圓心、原點、P點三點會共線，有嘗試過PQ線段為 3 時亦成立，但箇中原理，所學不多，無法參透，就留給能力更強的老師來完成了

[ 本帖最後由 peter0210 於 2025-6-2 20:22 編輯 ]

非常感謝老師!