105高中數學能力競賽

已知a+b+c=a1+b1+c1
求1(2a+b+c)2+1(a+2b+c)2+1(a+b+2c)2的最大值

只想到柯西不等式和a=b=c=1或a=b=c=−1，謝謝各位前輩

108.5.13補充
證明：tan210+tan250+tan270=9
(105高中數學能力競賽　嘉義區複賽試題一)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=3#pid19916

設x是整數，函數f(x)滿足f(x+2)=1−f(x)1+f(x)。已知f(1)=3，f(2)=5，求f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)之值為何？
(105高中數學能力競賽　南區(台南區)筆試二試題)

f(x)為實係數函數，已知所有實數x滿足f(x+2)=1−f(x)1+f(x)，若f(1)=2−3 ，則f(2019)=　　　。
(108中正預校國中部，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3130&page=2#pid19816)

106.9.17補充
複賽試題
h ttp://www.cysh.cy.edu.tw/files/14-1001-2330,r180-1.php?Lang=zh-tw　(連結已失效)
決賽試題
h ttp://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/competitions/index.php　(連結已失效)

109.6.25補充
設Q1、Q2為以原點O(00)為圓心的單位圓和x軸的兩交點。若上半圓上兩點P1和P2滿足∠P1OP2=45，則P1OQ1和P2OQ2面積和的最大值為　　　。
(105高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

數列an滿足a1=1an+1=1+an+1+4an(n1) ，
而數列bn定義為bn=1+4an 。
(1)問：數列bn為何種數列？
(2)求數列an的一般項公式。
(105高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試一試題)

類似題
數列an滿足a1=1、an+1=116(1+4an+1+24an) ，求此數列的一般項an。
(109中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html)

111.2.1補充
105學年度學科能力競賽決賽試題https://www.cysh.cy.edu.tw/p/406-1008-2774,r180.php
105學年度學科能力競賽分區複賽試題https://www.cysh.cy.edu.tw/p/406-1008-2330,r180.php

這題是 2009 IMO 的預選題

這題難
想了段時間

第三行筆誤沒有補上c

另外三個角度是隨便假設的也可以是角PQR

參考看看，我印象這題應該是用很複雜的算幾玩來玩去

然後配合乘法公式

我是算幾炸到底，一路黑到底，慘不忍睹

以下使用符號 cyclicf(abc)=f(abc)+f(bca)+f(cab)

2a+b+c=(a+b)+(a+c)2(a+b)(a+c)  (算幾不等式)

故 1(2a+b+c)2411(a+b)(a+c)，同理有 1(2b+c+a)2411(b+c)(b+a), 1(2c+a+b)2411(c+a)(c+b)

因此 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2411(a+b)(a+c)+1(b+c)(b+a)+1(c+a)(c+b)=21a+b+c(a+b)(b+c)(c+a) ....(1)

由 a1+1b+c1=a+b+c 可得 abcab+bc+ca=a+b+c  ab+bc+caabc(a+b+c)=1...(2)

(1)(2) 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)221a+b+c(a+b)(b+c)(c+a)ab+bc+caabc(a+b+c)=21cyclic(a3bc+2ab2c2)cyclic(a3b2+a3c2+2a3bc+4ab2c2)...(3)

算幾不等式有 a3b2+a3c22a3bc  cyclica3b2+a3c2cyclic2a3bc ...(4)

算幾不等式有 a3b2+ab2c22a2b2ca3c2+ab2c22a2bc2

故 cyclic(a3b2+a3c2+2ab2c2)cyclic(2a2b2c+2a2bc2)
cyclic(a3b2+a3c2+2ab2c2)cyclic4ab2c2
\Rightarrow\sum\limits _{cyclic}(a^{3}b^{2}+a^{3}c^{2})\geq\sum\limits _{cyclic}2ab^{2}c^{2} ...(5)

(4)(5) \Rightarrow\frac{1}{3}\sum\limits _{cyclic}\left(a^{3}b^{2}+a^{3}c^{2}\right)+\frac{2}{3}\sum\limits _{cyclic}\left(a^{3}b^{2}+a^{3}c^{2}\right)\geq\sum\limits _{cyclic}\left(\frac{2}{3}a^{3}bc+\frac{4}{3}ab^{2}c^{2}\right) ...(6)

(3)(6) \Rightarrow\frac{1}{(2a+b+c)^{2}}+\frac{1}{(2b+c+a)^{2}}+\frac{1}{(2c+a+b)^{2}}\leq\frac{1}{2}\frac{\sum\limits _{cyclic}(a^{3}bc+2ab^{2}c^{2})}{\sum\limits _{cyclic}(\frac{8}{3}a^{3}bc+\frac{16}{3}ab^{2}c^{2})}=\frac{3}{16} .

而當 a=b=c=1 時 \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}+\frac{1}{(2b+c+a)^{2}}+\frac{1}{(2c+a+b)^{2}}=\frac{3}{16} ，故所求最大值為 \frac{3}{16} .

其實是想問另一題，剛好看到上面，順便先回

105 台南區筆試一第四題是否不小心出錯了(或沒出好)，如果是的話，下界應該修成什麼樣子？題目如下：
數列 \{a_{n}\} ，並滿足 15na_{n}-25na_{n-1}=15a_{n}-6a_{n}a_{n-1} ，且 a_{0}\neq0 。

求證 \frac{1}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}>\frac{3^{n}(3^{n+1}-5^{n})}{2\times5^{2n}\times n!} ， n\geq2

說明：當 n \geq 3 時 \frac{3^{n}(3^{n+1}-5^{n})}{2\times5^{2n}\times n!} <0 ，而 a_n 認真算過後都是正的，這樣的不等式實在沒什麼意義

以下是一些化簡：
15na_{n}-25na_{n-1}=15a_{n}-6a_{n}a_{n-1}\Rightarrow15(n-1)a_{n}-25na_{n-1}=-6a_{n}a_{n-1}\Rightarrow15\cdot\frac{n-1}{a_{n-1}}-25\cdot\frac{n}{a_{n}}=-6

令 b_{n}=\frac{n}{a_{n}} ，則 15b_{n-1}-25b_{n}=-6 ，又 b_0=0 可解得 b_{n}=\frac{3}{5}-(\frac{3}{5})^{n+1}=\frac{3}{5}\left(1-(\frac{3}{5})^{n}\right)

\frac{1}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}=\frac{b_{1}b_{2}\cdots b_{n}}{n!}=\frac{3^{n}}{5^{n}\times n!}\prod\limits _{k=1}^{n}\left(1-(\frac{3}{5})^{k}\right)