102高中數學能力競賽

2.
連續投擲一公正的骰子，直到點數1出現7次才停止。若出現的點數1其前後出現的點數都不是1時，我們稱這種1點為「孤立1」。例如：當投擲出現的點數依序為1,2,1,1,5,4,1,6,6,1,1,1時，其中投擲的第1次及第7次所出現的點數1都是「孤立1」。設隨機變數\(X\)表示投擲中出現「孤立1」的次數。則\(X\)的期望值為　　。

3.
已知正數\(x,y,z\)滿足\(x^2+y^2+2z^2=10\)，\( \sqrt{xy}+3z \)的最大值為　　。

出自102高中數學能力競賽複賽筆試(二)-北三區(新竹高中)試題


106.7.22
補上102高中數學能力競賽完整試題

106.7.24
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
提示
(https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1268&page=1#pid4541)

108.5.18補充
設\(\displaystyle a=7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)(有2013個7)，試求\(a\)的末兩位數為　　　。
(北二區(新竹高中)筆試二試題)

設\(\displaystyle 7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)總共2019個7，請問此數除以100的餘數為　　　。
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3133-1-1.html)

109.6.25補充
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈，則第6晚也點亮紅色燈的機率為　　　（以最簡分數表示）。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

設集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,102 \}\;\)共102個數，\(B\)、\(C\)為另2個集合，滿足\(B∪C=A\)，則這樣的\((B,C)\)共有　　　。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
北一區(花蓮高中)筆試二試題
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

第 2 題
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2028

試解第一題，請 指教。


就每次試驗而言，出現7個"1"是必然的。我們以這7個"1"為主角思考: 某個"1"是否為"孤立1"，取決於其前後是否出現"非1"。
進一步而言，對於第一個與第七個"1"，若且唯若其後面/前面為"非1"，其成為"孤立1" (機率 = 5/6)。而中間五個"1"，若且唯若前後皆為"非1"，則成為"孤立1" (機率 = (5/6)²)。


利用期望值具有"和"的性質，所求期望值為:


2*(5/6) + 5*(5/6)² = 185/36 (次)







[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-10-25 12:15 PM 編輯 ]

補個出處：

102 學年度台灣省北三區 (新竹高中) 高級中學數理及資訊學科能力競賽

http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2012/09/blog-post.html

第一題另外的想法:


考慮 n≥2，當要求"點數1"由出現 n 次增為出現 (n+1) 次時，X的期望值將增加 5/6 - (1/6)*(5/6) = 25/36 (次)


說明: 緊接第 n 次"點數1"，若為"非1" (機率 = 5/6)，則X增加1; 而若為"1"，則X可能不變(當第 n 次"點數1"之前緊接 "點數1"時)，或減1(當第 n 次"點數1"之前不緊接 "點數1"時:  機率 = (1/6)*(5/6))。


因此，所求期望值為(由n=2出發):

2*(5/6) + 5*(25/36) = 185/36 (次)

謝謝各位高手的提點,有方向了!!

cefepime 兄這個解法實在是太高妙了

老師們好，
想再請教一題高中學科能力競賽102年北三區新竹高中的題目。
設\( \displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \)，則\( \displaystyle \frac{x^{10}+x^8+x^2+1}{x^{10}+x^6+x^4+1} \)之値為　　　。
化簡到\(x^2=3x+1\)代入替換，可是這樣要做很久，想請問老師們有沒有更快的解法呢？謝謝。

102高中數學能力競賽題目下載
http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2012/09/blog-post.html

\(\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow x^3-3x-1=0\Rightarrow x-x^{-1}=3\)

\(\Rightarrow \displaystyle x+x^{-1}=\sqrt{\left(x-x^{-1}\right)^2+4}=\sqrt{13}\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+x^{-2}=\left(x-x^{-1}\right)^2+2=11\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^3+x^{-3}=\left(x+x^{-1}\right)^3-3\cdot x\cdot x^{-1} \left(x+x^{-1}\right)=10\sqrt{13}\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^5+x^{-5}=\left(x^3+x^{-3}\right)\left(x^2+x^{-2}\right)- \left(x+x^{-1}\right)=109\sqrt{13}\)

所求＝\(\displaystyle \frac{x^{10}+x^8+x^2+1}{x^{10}+x^6+x^4+1}=\frac{x^5+x^3+x^{-3}+x^{-5}}{x^5+x+x^{-1}+x^{-5}}=\frac{119}{110}.\)

\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}=3x+1 \\
& x-\frac{1}{x}=3 \\
& {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=11 \\
& {{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}=119 \\
&  \\
& \frac{{{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{10}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+1} \\
& =\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{8}}+1 \right)}{\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{x}^{6}}+1 \right)} \\
& =\frac{{{x}^{8}}+1}{\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right)} \\
& =\frac{{{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}}{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( {{x}^{2}}-1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)} \\
& =\frac{119}{110} \\
\end{align}\)