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104新竹女中

Callmeluluz

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1^# 大中小發表於 2015-4-19 19:48 只看該作者

104新竹女中

只記得這三題請問這三題該如何動筆呢

第一題
7 8 9 10 14 這五個數任取兩數相乘的總和+任取三數的總和+任取四數的總和=???

請問這題要硬做嗎? 還是有更快的做法呢?

證明第一題
假設O為原點 P,Q為直角坐標系兩點假設有一T為2by2的線性轉換
使得P跑到P' Q跑到Q'
請證明(一)OP:OP'=OQ:OQ' (二)角POP'=角QOQ'

證明第二題(記憶力有點差如果哪邊有記錯請指證)
假設一線段AB中間任取一點C
以AC,CB為邊作正三角形
(一)證明AEFC為還是圓內接四邊形
(二)證明DE(還是其他邊?)為圓AEFC的切線

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2015-4-19 19:48

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tsusy

寸絲

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2^# 大中小發表於 2015-4-19 20:13 只看該作者

回復 1# Callmeluluz 的帖子

第一題
有7

8

9

10

14五個數，設s2表任二數乘積的總和，設s3表任三數乘積的總和，設s4表任四數乘積的總和，則s2+s3+s4之值為　　　。
[提示]
這題也考過類似的。

考慮 (x+7)(x+8)(x+9)(x+10)(x+14) 展開的各項係數和

以 x=1 代入再扣除我們不要的項 (5次項、4次項、常數項)

證明一，應該有漏條件，否則反例如下

T(x

y)=(2x

y), P(1

0), Q(0

1)

則 OP:OP

=1:2, OQ:OQ

=1:1

若同樣的 T，改取 P(1

0), Q(1

1)，則

POP

=0

=

QOQ

證明二，以 Geogebra 畫圖觀察，圖上所畫直線僅有

CD 與圓 AEFC 相切

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Callmeluluz

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3^# 大中小發表於 2015-4-19 20:30 只看該作者

回復 2# tsusy 的帖子

應該是我題目有誤抱歉
只好等題目出來了

我剛剛又想到一題了

三角形ABC，以BC為直徑做圓，AB交圓於D，AC交圓於E，假設三角形AED面積為1，四邊形DECB面積為t，求cos角BAC

第10題
銳角

ABC中，設∠A=

，若以BC為直徑作圓，此圓交AB於P點，交AC於Q點，若四邊形PBCQ的面積是

APQ的面積t倍，則cos

=　　　。

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2015-4-19 22:19 只看該作者

引用:

三角形ABC
以BC為直徑做圓
AB交圓於D
AC交圓於E
假設三角形AED面積為1
四邊形DECB面積為t
求cos角BAC

AD

AB=AE

ACACAD=AEAB

ABC

ADE=AB

ACAD

AE=1t+1

ACAD

2=1t+1cos

BAC=ACAD=

1t+1

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rueichi

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5^# 大中小發表於 2015-4-19 23:18 只看該作者

證明第二題：

(1+i)^n=An+iBn，An,Bn為實數，若矩陣[An+1 Bn+1]=T[An Bn]，T矩陣為線性映射，
若O為原點，P.Q為座標上異於O的相異兩點，P'、Q'為P、Q做線性映射T矩陣後的兩點，
證明(一)OP:OP'=OQ:OQ' (二)角POP'=角QOQ'

我個人是先求出(An+1 ,Bn+1)=(An-Bn,An+Bn)
之後另P、Q、P'、Q'點座標，
暴力算出他們邊長的比值都根號2，因此可得出兩小題的結論

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tsusy

寸絲

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6^# 大中小發表於 2015-4-19 23:49 只看該作者

回復 5# rueichi 的帖子

證明二：題目如果是這樣就沒問題了

證明的方向也正確，但有一瑕疵：T 的對應關係，已知的條件僅有對 (An

Bn) 這樣形式的點，而非平面上任意一點

也就是說令了點 P 坐標之後，不能直接套用 (An

Bn) 的映射去得到 P

的坐標

而需要利用線性映射的性質把 An+1=An−Bn

Bn+1=An+Bn 的關係式推廣成 T:(x

y)

(x−y

x+y)

才能代入 P

Q，而得到 P

Q

之坐標

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tzhau

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7^# 大中小發表於 2015-4-19 23:55 只看該作者

證明2

證明第二題似乎是去年指考考題，題目一模一樣，只是把指考的1.2小題拿掉

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bugmens

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8^# 大中小發表於 2015-4-21 00:42 只看該作者

1.
有7,8,9,10,14五個數，設s2表任二數乘積的總和，設s3表任三數乘積的總和，設s4表任四數乘積的總和，則s2+s3+s4之值為　　　。

Pk表1

2

3

n中任取k個數乘積的和，求1+P1+P2+

+Pn。
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

將十次多項式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+6)(x+9)(x+10) 展開後得 x^{10}+55x^{9}+a_8x^8+a_7x^7+\ldots+10! ，若 a_8=55M ， a_7=55^2N ，其中 M,N 為正整數，求 (M,N)= ？
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=8#pid5478)

13.
多項式 (1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2 展開式中， x^{24} 項的係數為　　　。

14.
設 x,y,z,w 均為實數，且滿足 x+y+z+w=8 及 x^2+2y^2+3z^2+6w^2=50 。若 x 的最大值為 M ，最小值為 m ，則數對 (M,m)= 　　　。

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tzhau

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9^# 大中小發表於 2015-4-21 02:10 只看該作者

13

多項式(1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2展開式中，x^{24}項的係數為　　　。
[解答]
有點醜的做法，參考看看。
令\displaystyle a=1+x+x^2+\ldots+x^{12}=\frac{1-x^{13}}{1-x}，則原式=(a+ax^{13})a^2=a^3+a^3x^{13}，
即求a^3中x^{24}的係數與a^3中x^{11}的係數和
\displaystyle a^3=\Bigg(\; \frac{1-x^{13}}{1-x} \Bigg)\;^3=(1-x^{13})^3(1-x)^{-3}
\displaystyle =(1-3x^{13}+3x^{26}-x^{39})\Bigg[\; 1+(-3)(-x)+\frac{(-3)(-4)}{2!}(-x)^2+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-x)^{11}+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-x)^{24}+\ldots \Bigg]\;
所求即為
\displaystyle \frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-1)^{24}+(-3)\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}=325+(-234)+78=169

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g112

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10^# 大中小發表於 2015-4-21 03:26 只看該作者

第13題
多項式(1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2展開式中，x^{24}項的係數為　　　。
[提示]
可以看成是重複組合的題目吧
X_1+X_2+X_3=25，0 \le X_1 \le 25，0 \le X_2,X_3 \le12

想請問一下15,16,17題要怎麼下手

另外18題我想請教一下我的想法對不對

先從題目的式子算出f(x)=x^3+ax^2-x，3個根分別為0,x_1, x_2
因為要求面積最小值,所以x_1和x_2的絕對值要越小越好
因此當a=0時，可以得到面積最小值

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