98全國聯招

如附件

請問最後一題要怎麼做呢？

美夢成真論壇討論文章　http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=10&t=1410



1.
一長廊有30盞燈排成一列，依序編號為1，2，3，...，30，開始全部是關的，今有30人依次通過。第一人通過時，將全部的燈打開；第二人通過時，將燈號為2之倍數者關上；第三人通過時，將燈號為3之倍數者改變狀態(開者關上，關者打開)；...；第n人通過時，將燈號為n之倍數者改變狀態。今30通過後，共有多少盞燈最後是開的？(A)4　(B)5　(C)6　(D)7
https://math.pro/db/thread-786-1-1.html
(96淡水商工，98和美實驗學校)

2009.10.5補充
有編號1到60的60個抽屜，及60個人，第1個人將所有抽屜關上，第2個人將2，4，6，8，...，60號抽屜打開，第3個人將3，6，9，12，...，60號抽屜原來關著打開，原來開著的關上，第k個人將k，2k，3k，...號抽屜中原來關著的打開，原來開著的關上，一直到第60個人為止，則　　　。
(1)第20號抽屜是關著的　(2)第25號抽屜是關著的　(3)第60號抽屜是關著的　(4)第53號抽屜是關著的
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/ra/RA122.pdf

2009.10.10補充
設有n個珍珠寶盒，各編號1,2,…,n。令K號寶盒含有K個珍珠。另有n張紙牌，各編號1,2,…,n。首先將n個寶盒全部關閉，並隨意抽出一張紙牌，抽出後不再放回。若第一次抽中K號紙牌，則編號為K的倍數的寶盒打開，其餘保持不動。接著抽出L號紙牌時，編號為L的倍數的寶盒作相反動作(即原先打開的關閉，原先關閉的打開)，其餘保持不動；試問當n張紙牌全部抽完後，仍然打開的寶盒有幾個？且其珍珠總數為何？
(90學年度高中數學能力競賽　台中區複賽試題(一))
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

2009.10.18補充
一監獄的牢房剛好排成一列，牢房編號由1，2，3，...，n。另有n張編號為1，2，3，...，n的紙牌。首先將所有牢房的門都關著，並隨意抽出一張紙牌，抽後不再放回。若第一次抽中k號紙牌，則編號為k的倍數的牢房打開，其餘保持不動。接著抽中d號紙牌，則編號為d的倍數的牢房作相反動作(即原先打開的關閉，原先關閉的打開)，其餘保持不動。
試問：當n張紙牌完全抽完後，有幾間牢房是開著？
(94蘭陽女中)

2010.2.19補充
拿100個杯子分別標上1到100號，一開始全部杯口朝上，編號2的倍數的杯子翻轉一次使杯口朝下，再接著編號3的倍數的杯子又翻轉一次，使杯口朝向改變，依此規則下去直到編號100的倍數的杯子翻轉完，請問此時杯口朝上的杯子有幾個？(A)1　(B)6　(C)8　(D)10個。
(92台南縣國中聯招)

2010.6.19補充
一百盞燈分別標上號碼: 1,2,3,…100. 設每盞燈的設計皆是:若原來是關閉的狀態,拉第一下是大亮, 拉第二下是小亮, 拉第三下是關閉.現在這一百盞燈都是關閉的狀態,第一個人把每盞燈都拉一下, 第二個人把標號是2的倍數的燈都拉一下, 第三個人把標號是3的倍數的燈都拉一下,依此類推,直至第一百個人把標號是100的燈拉一下, 試問最後有哪幾盞燈是關閉的狀態？
(建中通訊解題第48期)

2012.1.10補充
一間木櫃有n個抽屜，分別標上1~n的號碼，並將其全部鎖上，現在依下列的操作方式改變其狀態：
（所謂改變抽屜的狀態，就是原來是開的變成鎖上，原來是鎖上的變成開的）
第1次將號碼被1整除的抽屜改變狀態。
第2次將號碼被2整除的抽屜改變狀態。
……….
第k次將號碼被k整除的抽屜改變狀態。
……….
請問經過n次操作後，哪些編號的抽屜是打開的？
(建中通訊解題第10期)

109.5.23補充
惡魔島上的監獄有2020間牢房關犯人，編號分別為1、2、3、4、…、2018、2019、2020．適臨總統就職，實施特赦，獄方決定以下列方式來釋放部分犯人：
•牢房開關按一次便打開，再按一次又關起來。
•現在，從第1間開始算，只要是1的倍數，全部按一次；
•然後，再從第2間開始，只要是2的倍數，再按一次。
•依此類推，第\(k\)間開始，只要是\(k\) 的倍數就再按一次。
•如此一直到2020 的倍數按完為止，仍開者便立即釋放。
請問最後被釋放的共有多少人？
(A) 40
(B) 42
(C) 44
(D) 46
(109臺北市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3333-1-1.html)


7.
現有長度為12的線段，首先取去它的\( \displaystyle \frac{1}{2^2} \)，然後再從剩下部份的線段取去它的\( \displaystyle \frac{1}{3^2} \)，又再從剩下部份的線段取去它的\( \displaystyle \frac{1}{4^2} \)，...，如此順次從所剩線段取去它的\( \displaystyle \frac{1}{n^2} \)，則剩下的線段長最後會趨近於多少？(A)3　(B)4　(C)6　(D)8
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=426


8.
若與拋物線\(y=x^{2}\)及直線\( y=0 \)均相切之圓的圓心為P點，則P點坐標不可能是(A)\( (0,3) \)　(B)\( (\ \sqrt{2},3)\ \)　(C)\( (\ \frac{3 \sqrt{6}}{5},3)\ \)　(D)\( (\ \frac{5 \sqrt{15}}{4},3 )\ \)
[解答]
設圓方程式為\( (\ x-t)^{2}+(\ y-3 )^{2}=9 \)，和\( y=x^{2} \)相切
用\( y=x^2 \)代入化簡為\( x^{4}-5x^{2}-2tx+t^{2}=0 \)
因為相切所以此方程式至少有兩相等實根，設此實根為p
則\( f(p)=p^4-5p^2-2tp+t^2=0 \)，\( f'(p)=4p^3-10p-2t=0 \)
解得\( (\ p,t)\ =(\ 0,0 )\ ，(\ \sqrt{2},-\sqrt{2} )\ ，(\ -\sqrt{2},\sqrt{2} )\ ，(\ \frac{\sqrt{15}}{2},\frac{5\sqrt{15}}{4} )\ ，(\ -\frac{\sqrt{15}}{2},-\frac{5\sqrt{15}}{4} )\ \)

設圓\( x^2+(y-a)^2=1 \)與拋物線\( y=2x^2 \)相切，則a的值為。
(92學年度高中數學能力競賽　北區　第一區(花蓮高中))
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-3-30 10:33 PM 編輯 ]

4.有兩射線\( \overline{OX} \)，\( \overline{OY} \)夾角\( 60^o \)，P為∠XOY內部一點，\( \overline{OP}=10 \)，今欲在\( \overline{OX} \)上取一點A，\( \overline{OY} \)上取一點B，使△PAB之周長最小，若△PAB之最小周長為t，則(A)\( 16<t<17 \)　(B)\( 17<t<18 \)　(C)\( 18<t<19 \)　(D)\( 19<t<20 \)
[提示]
對P作對稱點Q,R，QR就是△PAB之最小周長

雖然有點舊了…

這是今天在整理部落格裡的東西，看到的，順便又弄了一個新的作法，順帶把它放上來。這招去頭去尾法已經好幾年沒用了

令 \( f=x^{4}-5x^{2}-2ax+a^{2}\), \( g=2x^{3}-5x-a \),

\( r_{1}=\frac{f+ag}{x}=x^{3}+2ax^{2}-5x-7a,\,  r_{2}=2f-xg=-5x^{2}-3ax+2a^{2} \),

\( r_{3}=\frac{7g-r_{1}}{x}=13x^{2}-2ax-30 \),

\( r_{4}=13r_{2}+5r_{3}=-49ax+26a^{2}-150 \),

\( r_{5}=2r_{2}-3r_{3}=-49x^{2}+4a^{2}+90 \),

若 \( a=0 \)，則 \( x\mid(f,g) \),

若 \( a\neq0 \)，\( x=\frac{26a^{2}-150}{49} \) 代入 \( r_{5} \)

得 \( 750-407a^{2}+16a^{4}=0 \).

所以 \( a=0, \pm\sqrt{2} \) 或 \( \pm\frac{5\sqrt{15}}{4}\).

舊的作法是暴力的輾轉相除搞的，在我的部落格裡 方寸之地

[ 本帖最後由 tsusy 於 2011-10-15 12:33 PM 編輯 ]

想請教我的作法為什麼作不出來正負根號2的那組答案...謝謝~~~

8. 看起來是 \( \overline{AB} \) 的地方漏了絕對值，

應該是圖形上，少考慮到圓和拋物線、x 軸相切在左右不同邊的關係

thx, 我算出來了~~

請問第8題，為什麼相切(至少有兩相等實根)就可以微分等於零，而不能做二次微分，感謝。

把\(f\left( x \right)={{\left( x-p \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2px+\frac{{{t}^{2}}}{{{p}^{2}}} \right)\)微微看就知道了