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102北一女中二招

bugmens

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1^# 大中小發表於 2013-5-4 22:14 只看該作者

102北一女中二招

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2013-5-4 22:16 只看該作者

1.
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=2 \)且\( (c-3)^2+(d-4)^2=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)的最大值為？

若\( a^2+b^2=1 \)，\( c^2+d^2=1 \)，\( \displaystyle ac+bd=\frac{1}{2} \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)之值為？
(99中正預校，https://math.pro/db/thread-990-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-4 10:49 PM 編輯 ]

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drexler5422

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3^# 大中小發表於 2013-5-7 15:10 只看該作者

計算題第四題

我算的答案是2√2+√3 希望是對ㄉ~~~~

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2013-5-7 17:20 只看該作者

引用:

原帖由 drexler5422 於 2013-5-7 03:10 PM 發表
我算的答案是2√2+√3

標準答案!

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阿光

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5^# 大中小發表於 2013-5-7 20:55 只看該作者

想請教第3,4和6題謝謝

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weiye

瑋岳

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6^# 大中小發表於 2013-5-14 11:58 只看該作者

回復 5# 阿光的帖子

第 3 題：

　　\(M\) 內的任何一個元素，都會出現在 \(M\) 的某 \(2^9\) 個子集合中，

　　因此，所求＝\(\displaystyle\left(-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10\right)\cdot2^9=2560.\)

第 6 題：

\(a\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　\(\displaystyle =2^3+\frac{4^3-2^3}{2}=36\)

\(b\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　\(\displaystyle =2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)+\frac{4^3H_4^4-2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)}{2}\)

　　　　　　\(\displaystyle =72+\frac{2240-72}{2}=1156\)

多喝水。

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weiye

瑋岳

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7^# 大中小發表於 2013-5-14 13:58 只看該作者

回復 5# 阿光的帖子

第 4 題：

\(1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdot5!\cdot6!\cdots35!\cdot36!=\left(1!\right)^2\cdot2\cdot\left(3!\right)^2\cdot4\cdot\left(5!\right)^2\cdot6\cdots\left(35!\right)^2\cdot36\)

　　\(=\left(1!3!5!\cdots35!\right)^2\cdot\left(2\cdot4\cdot6\cdots36\right)\)

　　\(=\left(1!3!5!\cdots35!\cdot2^9\right)^2\cdot\left(18!\right)\)

可見，拿掉 \(18!\) 可使得剩下各元數乘積為完全平方數。

不過，如何證明沒有其它的解呢？（唯一性）有勞各位大俠了。

多喝水。

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tsusy

寸絲

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8^# 大中小發表於 2013-5-14 14:22 只看該作者

回復 7# weiye 的帖子

第四題，幫補刀(唯一性)。

若有另一解 \( k'!>18! \)，則 \( \frac{k'!}{18!} \) 為完全平方數。

而 19 為質數，且 \( 19 \mid \frac{k'!}{18!} \) 但 \( 19^2 \not| \frac{k'!}{18!} \)，得矛盾。
(\nmid 失效，那個是不整除)

故不存在這樣的 \( k'!>18! \)。

若有另一解 \( k''!<18! \) 則 \( \frac{18!}{k''!} \) 為完全平方數。

易驗 \( k''!=17! \) 不合，故 \( k''!<17! \)

而有 \( 17 \mid \frac{18!}{k''!} \) 但 \( 17^2 \not| \frac{18!}{k''!} \)，得矛盾。

故亦不存在這樣的 \( k''<18 \)。

綜合以上二情況，得僅有 \( k=18 \) 之唯一解

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-14 02:33 PM 編輯 ]

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