99桃園縣新進教師高中聯招

題目和答案請見附件

選擇題
5.設\( \{ a_n \} \)為一數列，\( a_1=a_2=1 \)，\( a_3=a_4=2 \)，對任意正整數n，滿足\( a_{n} \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3}\not\equiv 1 \)且\( a_n \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3} \cdot a_{n+4}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4} \)，則\( a_1+a_2+...+a_{200}= \)？
(A)320　(B)360　(C)400　(D)440　(E)480
[提示]
五個一循環1，1，2，2，2


8.\( \sqrt{n}+\sqrt{m}=\sqrt{2527} \)，\( n>m>0 \)，則\( (n,m) \)有幾組正整數解。
(A)2　(B)3　(C)5　(D)7　(E)9

已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)且\( 0<x<y \)，求滿足此式的整數數對\( (x,y) \)有幾組？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3　組。
(92台南縣國中聯招，初中數學競賽教程P32)
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13842


非選擇題
三、照相機三角架的三隻腳架長度皆為75cm，三隻腳架和地面接觸點為A，B，C，已知\( \overline{AB}=50cm \)，\( \overline{BC}=40cm \)，\( \overline{CA}=30cm \)，求三角架頂點至地面的最短距離為多少cm？

有一個三角架，三隻腳的長度都是150，三隻腳的著地點為A，B，C且\( \overline{AB}=70 \)，\( \overline{BC}=80 \)，\( \overline{CA}=90 \)，則腳架頂端P離地面的高度為？
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA503.swf

請問單選第4題應該如何算
我算是2/9.......居然沒有這選項   應該算錯了....
s=1/12*1/6  /  (1-27/36)=1/18
ans=1/18  /  (1-27/36)=2*9


非選擇題三  可視為求三角錐的高
但改成70 80 90 不知改怎麼算
請問各位老師 可以給點提示嗎 謝謝

4.看不懂題義XD



abc/4R ＝ 三角形面積
可求出外接圓半經R＝21√5

單選四
投擲兩個6面的公正骰子,求其點數和為4會出現在點數和為7之前的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
丟出點數和 4點的機率   \(\displaystyle \frac{3}{36}\)  7點的機率  \(\displaystyle \frac{6}{36}\)
題目要4點比7點早出現  所以說  如果只擲一次  就是第一次就4點
如果擲兩次  第一次一定不是4或7 這樣的機率是  \(\displaystyle 1- \frac{3}{36}-\frac{6}{36}=\frac{27}{36} \)  第二次一定是4點
所以機率變成  \(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}*\frac{3}{4}+\frac{1}{6}*\left( \frac{3}{4} \right)^2+...\)  無窮等比級數

113.5.1補充
同時擲兩粒公正骰子，求點數和為 5 比點數和為 7 先出現的機率為何？　　　
(113新竹高中，https://math.pro/db/thread-3856-1-1.html)

非選3
照相機三角架的三隻腳架長度皆為\(75cm\)，三隻腳架和地面接觸點為\(A,B,C\)，已知\(\overline{AB}=50cm\)，\(\overline{BC}=40cm\)，\(\overline{CA}=30cm\)，求三角架頂點至地面的最短距離為多少\(cm\)？
[提示]
他會是外心正上方去算

可以請問一下非選一二題怎麼算嗎?
謝謝

非選四我先把y作標左移一單位，B點再旋轉(順逆各一解)30度得D點，
再用對角線互相平分性質得C點，最後x作標再減1即答案(兩解)，
不知道有沒有更好的方法?
@答案打不出來

已知菱形\(ABCD\)的相鄰兩頂點之座標為\(A(-1,0)\)，\(B(2,5)\)且\(\angle BAD=30^{\circ}\)，求\(C\)點的座標為何？
[提示]
AB向量旋轉150度再加B點座標

選擇7
1點到10點的10張撲克牌隨機均分給\(A,B\)兩人各5張，則\(B\)之點數和小於等於18的機率(\(Pr(B\)之點數和\(\le18)\))最接近以下那個數？
(A)0.028  (B)0.051  (C)0.082  (D)0.11  (E)0.181
[解答]
直接列因為A拿多少不重要  直接考慮B拿到的牌
所以說考慮B可拿到的最大牌
最大8的情況  剩下 1,2,3,4
最大7   可以是 1,2,3,4     1,2,3,5
       6   可以是 1,2,3,4     1,2,3,5  1,2,4,5
所以機率  \(\displaystyle{\frac {7}{C^{10}_{5}}}=0.028\)

選擇6
設\(f(x),g(x)\)的微分在每一處存在，且對所有實數\(x\)，\(f(x)>g'(x)\)，則\(y=f(x)\)的圖形
(A)交於一點，且只交於一點
(B)不相交
(C)最多能有一個交點
(D)可能有多於一個交點
(E)在交點有公切線
[解答]
\(\displaystyle f'(x)-g'(x)>0\)
表示\(\displaystyle f(x)-g(x)\)是嚴格遞增函數
那嚴格遞增函數最多有一個根

選擇2
設\(a,b\)均為大於2的整數，已知\(\displaystyle \frac{3b-1}{a}\)和\(\displaystyle \frac{3a-1}{b}\)均為整數，求\(a\)的所有可能值之和為何？
(A)12　(B)15　(C)18　(D)24　(E)27
[解答]
直接參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1522