109全國高中職聯招

如附件

單選2.
已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗，其「偽陰率」為8%（即帶原者做檢驗有8%的機會呈陰性反應，其他呈陽性反應），而「偽陽率」為1% （即未帶原者做檢驗有1%的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應）。某地區經快篩試劑篩檢後呈現陽性反應的民眾中有2% 為此病毒的帶原者，則此地區病毒的帶原者占全部人口的比例約為何？(A) 2% (B) 0.2% (C) 0.02% (D) 0.002% 。

已知某種快篩試劑對MERS病毒的檢驗，其「偽陰率」為9%(即帶原者做檢驗有9%的機會呈陰性反應，其他呈陽性反應)，而「偽陽率」為1%(即未帶原者做檢驗有1%的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應)。在K國H醫院病患經快篩試劑篩檢後，發現真正受MERS病毒感染的比例為111，則此H醫院受此MERS病毒感染者占全部病患人口的比例為　　　。
(103高雄中學段考試題)

單選4.
三個兩兩外切的圓，也都與直線相切，最大圓半徑為100，中圓的半徑為25，求最小圓的半徑為何？(A)9100　(B)310　(C)536　(D)518
[公式]
1r=1100+125
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=819&page=1#pid1556

多選12.
設擲某銅板出現正面的機率為p，0p1。連續擲此銅板4次，若第k次出現則得12k，否則得0，k=1234。設總所得的期望值為a，總所得超過31的機率為b，則(A)a為p的一次多項式　(B)1615a1　(C)b為p的二次多項式　(D)pbp+p2

擲某銅板出現正面的機率為p，0p1。連續擲此銅板4次，若第k次出現正面則得12k，否則得0，k=1、2、3、4。若總所得超過31的機率為ap+bp^2+cp^3求a+b+c=　　　。
(100北港高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1192&page=3#pid4281)

2.
\Delta ABC中，∠C=90^{\circ}且\overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB}，已知∠ACD=\alpha,∠DCE=\beta,∠ECB=\gamma，則\displaystyle \frac{sin \alpha \cdot sin \gamma}{sin \beta}=　　　。
連結有解答
(100臺南二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1101&page=1#pid3064)

填充6.
方程式sinx-3cosx=k，在0\le x \le \pi的範圍內，有兩個相異的實數解，求實數k的範圍為　　　。
連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2975&page=3#pid19272

填充9.
設甲袋中有2白球，乙袋中有3紅球，今每次自各袋中隨機取一球作交換，趨於穩定時，甲袋中有1白球1紅球之機率為　　　。
\displaystyle \frac{C_1^2 C_1^3}{C_2^5}=\frac{3}{5}

甲袋中有1黑球2白球，乙袋中有1白球1黑球，每球被取到之機會相同，從甲袋中取1球讓入乙袋，再從乙袋中取1球放回甲袋，此叫一回合。試求長期操作後，當達穩定狀態時，甲袋中為2黑1白球之機率為　　　。
(103新化高中，https://math.pro/db/thread-2022-1-1.html)
\displaystyle \frac{C_2^2 C_1^3}{C_3^5}=\frac{3}{10}

計算2.
將偶數數列S=\{\;2,4,6,\ldots,2n,\ldots \}\;排列為以下陣列，第i列第j行為a_{ij}，例如，a_{32}=18，試求一般項a_{ij}。
\matrix{&1&2&3&4&5&\ldots&j &行\cr 1&2&4&8&14&&&\cr 2&6&10&16&&&&\cr 3&12&18&&&&&\cr 4&20&&&&&&\cr 5&&&&&&&\cr \vdots&&&&&&&\cr i&&&&&&&a_{ij}\cr 列&&&&&&&}
[解答]
第2組數字2
第3組數字4,6
第4組數字8,10,12
第5組數字14,16,18,20
...
取每組開頭數字做差分
\matrix{&&&&第2組&&第3組&&第4組&&第5組\cr 4&&2&&2&&4&&8&&14\cr &-2&&0&&2&&4&&6&\cr &&2&&2&&2&&2&&}
第n組開頭數字=4\times C_0^n-2\times C_1^n+2\times C_2^n=n^2-3n+4
a_{ij}在第i+j組，開頭數字(i+j)^2-3(i+j)+4在第1列
但a_{ij}在第i列再加上2(i-1)數字，a_{ij}=(i+j)^2-3(i+j)+4+2(i-1)=(i+j)^2-3(i+j)+2i+2

將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為 f(i,j) ，例如 f(3,4)=18 ，試求 f(45,45)= 　　　。
\matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr 3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … & 　\cr 6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … & 　 & 　\cr 10 & 14 & 19 & 25 & … & 　 & 　 & 　 \cr 15 & 20 & 26 & … & 　 & 　 & 　 & 　 \cr 21 & 27 & … & 　 & 　 & 　 & 　 & 　 \cr 28 & … & 　 & 　 & 　 & 　 & 　 & 　}
(103彰化高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1890&page=1#pid10505)

計算3.
有一個底半徑為5公分的圓柱體，被一個通過直徑AB且與底面夾45^{\circ}角的平面所截，試求所截出的立體體積。
公式：\displaystyle \frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2556&page=1#pid16011

想請教計算第一題

計算第1題
\begin{align}   & y=\frac{x-1}{2x+3} \\ & x=\frac{3y+1}{1-2y} \\ \end{align}
代回原方程

謝謝鋼琴老師

計算一算完答案是 19x^3+69x^2-2x-3=0

計算二 a_{ij}=i(i+2j-1)+(j-1)(j-2)

計算三 \frac{250}{3}

提供給其他老師參考。

[ 本帖最後由 royan0837 於 2020-6-6 20:01 編輯 ]

計算二：
對於任何格子裡的數   a_{i j}   都可以用 k =i+j 來分組
像是   a_{i j}   屬於 k =i+j 組，而此組內的數由小(右上)到大(左下)排列依序為：
2(1+2+3+...+(i+j-2))+2, 2(1+2+3+...+(i+j-2))+4, ..., 2(1+2+3+...+(i+j-2))+2(i+j-1)
因為   a_{i j}   是屬於此組的第 i 個，故
a_{i j} = 2(1+2+...+(i+j-2))+ 2i =(i+j-2)(i+j-1) +2i  
經整理後也可以得到樓上老師的答案

我用另外一個方法求，多繞了比較多路，考試還是計算錯誤了....

\displaystyle\frac{\alpha-1}{2\alpha+3}=\frac{\alpha-1}{2(\alpha-1)+5}

所以想先找 2+\displaystyle\frac{5}{\alpha-1}的方程式再倒根回來

我先平移對x=1展開，然後伸縮變\frac{1}{5}，再來倒根一次，平移對x=-2展開，再倒根一次

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2020-6-6 22:18 編輯 ]

請問填充7怎麼算呢？
我怎麼一直算出來是3/5（答案是給4/5）
謝謝

填充第 7 題
1 - (白球數一路領先紅球數的機率)

謝謝，不小心算錯了XD

[ 本帖最後由 r95221013 於 2020-6-7 01:51 編輯 ]