98高中數學能力競賽

很多題目非常適合教甄出題，我將找得到出處的題目列出來，讓各位網友可以循著連結找到答案

已知在△ABC內一點分別與各頂點連線延長至對邊，將△ABC分成六塊區域，其中四塊區域面積值如下圖所示，求△ABC的整個面積。
(98高中數學能力競賽台南區)
(1985AIME第6題，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1985)


設n為正整數，如果恰有一正整數k滿足不等式\( \displaystyle \frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13} \)，試求滿足上述條件的最大值？
(98高中數學能力競賽台南區)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2000_Taiwan_High_KaohsiungCity_01.pdf
(88高中數學能力競賽高雄區)
(1987AIME第8題，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1987)


直角三角形ABC中，\( ∠C=90^o \)，P為△ABC內部一點，使得∠APB=∠APC=∠CPB，且\( \overline{PA}=8 \)，\( \overline{PC}=6 \)(如下圖所示)，試求\( \overline{PB} \)
(98高中數學能力競賽台南區)
(1987AIME第9題，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1987)

已知\( \big|x_k \big|<1 \)，k=1,2,...,n且知\( \big| x_1 \big|+\big| x_2 \big|+...+\big| x_n \big|=97+\big| x_1+x_2+...+x_n \big| \)，試確定n的最小值。
(98高中數學能力競賽台北市口試試題)
(1988AIME第4題，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1988)

已知x,y,z皆為正實數，且滿足方程組\( \matrix{
log_{10}(2000xy)=4+log_{10}x \cdot log_{10}y \cr
log_{10}(2yz)=1+log_{10}y \cdot log_{10}z \cr
log_{10}(zx)=log_{10}z \cdot log_{10}x }\)，則x+y+z的值為何？
(98高中數學能力競賽高雄區)
(2000AIME，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2000)


令a,b,c為三個正實數且滿足\( \displaystyle a+\frac{1}{b}=4 \)，\( \displaystyle b+\frac{1}{c}=1 \)，\( \displaystyle c+\frac{1}{a}=\frac{7}{3} \)。求\( \sqrt{abc}= \)？
(2000AMC12第20題，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=2000)
(2000AIME第7題，http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2000)

試求方程式\( 2^a+2^b+2^c+2^d=10.625 \)的整數解(a,b,c,d)，其中a>b>c>d。
(98高中數學能力競賽高雄區)
求滿足w>x>y>z條件的方程式\( \displaystyle 2^w+2^x+2^y+2^z=1288 \frac{1}{4} \)其所有整數解。
(建中通訊解題第45期)


設\( \displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{51}-\frac{1}{52}=\frac{q}{p} \)，其中p，q為互質的正整數。試證：q可被79整除。
(98高中數學能力競賽第一區筆試一)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1251


設M,A,T,H分別代表不同的阿拉伯數字。若MA與TA這兩個二位數的乘積滿足MA與TA這兩個二位數的乘積滿足MA乘TA等於HHH，則M+A+T+H =______。ans:21

已知在邊長為1的正方形內可以作出內接正三角形，那麼這些正三角形的面積之最大值為_____. ans:sec^2(15度)
thepiano解題，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7927

101.11.11補充
設a與b為實數且\( a>0 \)，已知\( a+log a=8 \)且\( b+10^b=8 \)，則\( a+b \)之值為？
(98高中數學能力競賽　台北市筆試二)

若\( \alpha \)是\( \displaystyle \frac{1}{3}x+3^x=8 \)的一個根，\( \beta \)是\( x+log_3(x+1)=24 \)的一個根，\( \alpha+\beta= \)？
(100高中數學能力競賽　臺北市筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-2.html)

108.5.11補充
若實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4 \cr x^2+y^2+z^2=10 \cr x^3+y^3+z^3=22}\)，則\(xyz=\)　　　。
(98高中數學能力競賽 第四區(新竹高中)
(108板橋高中，https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)

在一正方形球枱中，一球從底邊中點\(A\)處出發，往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{8}\)處碰撞後反射(如圖)，假設在完全彈性碰撞下，球在第一次回到\(A\)點之前共反射　　　次。
(98高中數學能力競賽 第二區(新店高中))

在一正方形球枱中，一球從底邊中點\(A\)處出發，往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{4}\)處碰撞後反射(如圖)，假設在完全彈性碰撞下，球在第一次回到\(A\)點之前共反射　　　次。
(108板橋高中，https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)


設函數\(f\)：\((0,1)\to R\)定義為
\(f(x)=\cases{\displaystyle x,x \notin Q \cr \frac{2p+1}{2q},x=\frac{p}{q},(p,q)=1,0<p<q,p,q \in N}\)
求\(f(x)\)在區間\( \displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{3}{7}\right) \)上的最大值？
(98高中數學能力競賽 第八區(高屏區))

設函數\(f\)：\((0,1)\to R\)定義為\(f(x)=\cases{x,x \notin Q \cr \frac{p+1}{q},x=\frac{q}{p}}\),其中\(p,q \in N\)且\(p,q\)互質。則\(f(x)\)在區間\(\left(\frac{3}{7},\frac{9}{10} \right)\)上的最大值為　　　。
(108板橋高中，https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)

110.8.15補充
設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，依下列兩種方式可作出其內接正方形如圖(I)、(II)所示。已知圖(I)的正方形面積為625，則圖(II)的正方形面積為。

(1987AIME第15題，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_15)

設正實數數列\( \{ a_n \} \)滿足\( \sqrt{a_n a_{n-2}}-\sqrt{a_{n-1}a_{n-2}}=2a_{n-1} \)(n≧3)，且\( a_1=a_2=1 \)試求\( a_n \)。
(98高中數學能力競賽高雄區，1993大陸高中數學聯賽)


將九塊大小不等的正方形拼成一塊長方形，如下圖所示：其中黑色正方形的邊長為1，而x與y代表所在正方形的邊長。
(1)求x與y的值　　(2)求長方形的長與寬
(98高中數學能力競賽第一區筆試一)
設A與B是數線上兩個點，它們的座標分別為-1與4，如下圖所示。已知P是數線上的動點，而且滿足P到A點及P到B點的距離乘積小於6，即\( \overline{PA}× \overline{PB}<6 \)，求動點P的所有可能範圍是。
(98高中數學能力競賽第一區筆試二)
以上兩題是97台北縣高中聯招考題

1. 有各張分別標有1,2,3.....n 的一疊n張卡片 . 洗過卡片後 , 重複進行以下操作 : 若最上面一張卡片的標號是k , 則將前k張卡片的順序顛倒 ;
    例如 : 若 n=4 且卡片排成3124 , 則操作一次後的卡片將排列成2134 . 證明 : 經過有限次操作後 , 標號1的卡片會在最上面.

2. 空間中一四面體的四個頂點A(0,0,1),B(2,4,0),C(0,0,0),D(4,2,0), 平面E通過A點與BD中點且與BC有交點 , 若平面E將此四面體分成兩塊 ,
   其中一塊的體積為原四面體的 1/3 , 求E的方程式 ?

題目：

2. 空間中一四面體的四個頂點A(0,0,1),B(2,4,0),C(0,0,0),D(4,2,0), 平面E通過A點與BD中點且與BC有交點 , 若平面E將此四面體分成兩塊 , 其中一塊的體積為原四面體的 1/3 , 求E的方程式 ?


解答：

設 BD 的中點為 M，且 E 與 BC 交於 N 點，

因為由 A 點往 BCD 平面作高，則

可發現四面體 ABNM 與 四面體 ABCD 同高，

因此，

四面體 ABNM 與 四面體 ABCD的體積比等於

Δ BNM 與 Δ BCD 的面積比。

依題意，

情況一：

若 四面體 ABNM = (1/3) 四面體 ABCD的體積，

則，Δ BNM = (1/3) Δ BCD 的面積

　　(1/2)* BM*BN* sin∠NBM = (1/3)* (1/2) * BD* BC * sin∠CBD

　　且由 BM = (1/2)BD，可得 BN = (2/3) BC

　　由分點公式，可得 N 點坐標　⇒　由 A,N,M 三點坐標，可得 E 的方程式。


情況二：

若 四面體 ABNM = (2/3) 四面體 ABCD的體積，

則，Δ BNM = (2/3) Δ BCD 的面積

　　但顯然與 Δ BNM面積 ≦ Δ BCM 面積 = (1/2) Δ BCD 面積，矛盾。











另外，

由於台灣師大數學系網頁上 97, 98 高中數學能力競賽的網頁資料（含考題）似乎連結有問題，

所以，小弟把 bugmens 所提供的資料上傳到本站空間永久留存，以下附上兩者考題資料的連結：

　　97 高中數學能力競賽考題：https://math.pro/temp/hs_math_97.rar　or　http://140.122.140.4/exam/hs/97/

　　98 高中數學能力競賽考題：https://math.pro/temp/hs_math_98.rar　or　http://140.122.140.4/exam/hs/98/

題目：


1. 有各張分別標有1,2,3.....n 的一疊n張卡片 . 洗過卡片後 , 重複進行以下操作 : 若最上面一張卡片的標號是k , 則將前k張卡片的順序顛倒 ;
    例如 : 若 n=4 且卡片排成3124 , 則操作一次後的卡片將排列成2134 . 證明 : 經過有限次操作後 , 標號1的卡片會在最上面.



分析：

我比較喜歡稱最上面的牌為第一張牌，

先觀察一下：依洗牌規則，每次洗牌的時候，若第一張牌是 K，則伴隨洗牌規則而發生的事就是，第一張牌就會跟第 K 張牌交換。

　　　　　　至於中間其它牌的交換，因為不太重要，所以不管它中間牌怎麼換，至少第一張跟第 K 張會互換是必然的。


解答：

　　假設無論如何洗牌，第 1 張牌都不會是 1

　　亦即，在重複無窮次步驟之後，第一張牌一直都不會是 1，

　　則因為牌只有有限張，所以第一張牌的標號最後必定會是某些數字在重複出現

　　（且至少有兩個不是 1 的數字在重複，否則會有顯見的矛盾），

　　設第一張牌標號的重複數字之中最大者為 M (注意： M 必不等於 1)，

　　則當某次洗牌前，輪到第一張牌為 M 時，

　　在該次洗牌之後，

　　第 1 張的標號必小於 M，

　　且依洗牌規則，

　　因第 1 張卡片標號小於 M，所以洗牌所交換的卡片必無法換到第 M 張卡片，

　　故，第一張牌必無法再換回 M，此與 M 的重複出現性相矛盾。

　　故，在有限次的洗牌次數之內，第一張牌必定會變為 1.

感謝回覆 !

想再請教 :
1. 假設5根電線桿，其中兩根會漏電，以致於停在它們上面的小鳥會立刻被電昏而摔落地面。今有五隻小鳥各自獨立的隨機選擇其中一根電線桿逗留休息，試計算只有兩根電線桿上有小鳥的機率。
2.\(x,y,z\)屬於實數，滿足\(x^2+y^2+z^2=1\)，求\(xy+yz+zx\)的最小值 = ?
3.設\(x,y,z\)為實數且皆不為零 , 角alpha與beta 皆落在 -90度至 90度之間 (可等於-90與90度) , 若 x^2+y^2+z=0 ,x^2(cos(alpha)+isin(alpha))+y^2(cos(beta)+isin(beta))+iz=0 , 求 alpha+beta =?
感謝 !

題目：

3. 設 \(x,y,z\) 為實數且皆不為零，\(-90^\circ\leq\alpha\leq90^\circ\)，\(-90^\circ\leq\beta\leq90^\circ\)，

若 \(x^2+y^2+z=0\) 且 \(x^2\left(\cos\alpha+i \sin\alpha\right)+y^2\left(\cos\beta+i \sin\beta\right)+iz=0\) , 求 \(\alpha+\beta =?\)




解答：

\(x^2\left(\cos\alpha+i \sin\alpha\right)+y^2\left(\cos\beta+i \sin\beta\right)+iz=0\)

\(\Rightarrow \left(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta\right) + i\left(x^2\sin\alpha+y^2\sin\beta+z\right)=0\)

因為 \(x,y,z,\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta\) 都是實數，所以

\(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta=0\)　且　\(x^2\sin\alpha+y^2\sin\beta+z=0\mbox{......（＊）}\)


（１）

因為 \(-90^\circ\leq\alpha\leq90^\circ\) 且 \(-90^\circ\leq\beta\leq90^\circ\)，

所以 \(\cos\alpha\geq0\) 且 \(\cos\beta\geq0\)

且由 \(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta=0\)，可得 \(x^2\cos\alpha=0\) 且 \(y^2\sin\beta=0\)

因為 \(x,y\) 都是非零實數，所以 \(\cos\alpha=0\) 且 \(\cos\beta=0.\)




（２）

由題目所給之 \(x^2+y^2+z=0\Rightarrow z=-x^2-y^2\) 帶入 （＊），

可得 \(x^2\left(1-\sin\alpha\right) + y^2\left(1-\sin\beta\right)=0\)，

因為  \(1-\sin\alpha\geq0\) 且 \(1-\sin\beta\geq0\)

所以，可得 \(x^2\left(1-\sin\alpha\right)=0\) 且 \(y^2\left(1-\sin\beta\right)=0\)

且因為 \(x,y\) 都是非零實數，所以 \(1-\sin\alpha=0\) 且 \(1-\sin\beta=0\)

可得 \(\sin\alpha=1\) 且 \(\sin\beta=1.\)




故，由上二者，可得 \(\alpha=\beta=90^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=180^\circ.\)

題目：

2.設 \(x,y,z\) 屬於實數 , 滿足 \(x^2+y^2+z^2=1\) , 求 \(xy+yz+zx\) 的最小值 = ?



解答：

由科西不等式，

\[\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\geq\left(xy+yz+zx\right)^2\]

可求得 \(xy+yz+zx\) 的範圍。



＊＊

.　　感謝老王老師提醒（詳見本討論串後方回覆），

　　利用科西找出來的 \(-1\) 只是下界，並非最小值（實際最小值為 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) ），

　　因為由科西不等式所得的下界部分的等號並不會成立。

　　^__^

　　以下如老王老師於本討論串後方之回覆，

　　可由 \(\displaystyle xy+yz+zx = \frac{1}{2}\left[\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\geq\frac{1}{2}\left[0^2-1\right]=-\frac{1}{2}\)

　　得到 \(xy+yz+zx\) 的下界 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\)，

　　且空間中存在同時滿足 \(x+y+z=0\) （通過原點的平面方程式）

　　　　　　　　　　　　與 \(x^2+y^2+z^2=1\)（以原點為球心、1 為半徑的球） 的共同交點 \(\left(x,y,z\right).\)

　　故，\(xy+yz+zx\) 的最小值為 \(\displaystyle -\frac{1}{2}.\)

好快喔 ~ 感謝

題目：

1. 假設5根電線桿，其中兩根會漏電，以致於停在它們上面的小鳥會立刻被電昏而摔落地面。

　今有五隻小鳥各自獨立的隨機選擇其中一根電線桿逗留休息，試計算只有兩根電線桿上有小鳥的機率。



解答：


分母＝\(5^5.\)


分子＝不漏電的三根中選取兩根，搭配
　　　　　　case 1. 不漏電那兩根恰有5隻鳥且每根至少有一鳥
　　　　　　case 2. 不漏電那兩根恰有4隻鳥且每根至少有一鳥，漏電的那兩根共恰有1鳥
　　　　　　case 3. 不漏電那兩根恰有3隻鳥且每根至少有一鳥，漏電的那兩根共恰有2鳥
　　　　　　case 4. 不漏電那兩根恰有2隻鳥且每根至少有一鳥，漏電的那兩根共恰有3鳥
　　　的方法數

　　＝ \(C^3_2\left\{C^5_5\left(2^5-C^2_1\cdot 1^5\right)+C^5_4\left(2^4-C^2_1\cdot 1^5\right)\times2+C^5_3\left(2^3-C^2_1\cdot 1^5\right)\times2^2+C^5_2\left(2^2-C^2_1\cdot 1^5\right)\times2^3\right\}.\)