橢圓動點

若\(P,Q\)為\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上的兩個動點，\(O\)為原點且\(\overline{OP}⊥\overline{OQ}\)，試證明\(\displaystyle \frac{1}{\overline{OP}^2}+\frac{1}{\overline{OQ}}^2\)為定值。

109.6.9補充
108竹北高中代理，https://math.pro/db/thread-3164-1-1.html

若 OP 與 OQ 的斜率都存在，

令 OP 直線的斜率為 m ，則 OP 方程式為 y=mx

帶入橢圓方程式，分別求出 x^2 與 y^2 (以 a, b, m 表示)

進而可以將 (OP線段)^2 以 a, b, m 表示。



因為線段OP垂直線段OQ，所以可以令 OQ 直線方程式為 y=(-1/m)x，

依然帶入橢圓方程式，可以將 Q 點的 x, y 坐標以 a, b, m 表示，

從而求出 (OQ線段)^2。



再將上述兩式，倒數之後相加，可以求得 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2





若 OP 或 OQ 的斜率不存在，亦即 P, Q 分別在 x, y 軸，或 y, x 軸上，

依然可得 P, Q 兩點為長、短軸上的兩頂點，

故 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2 亦成立。






Note: 若將要求證的式子通分之後，可以發現，題意亦可改成，求證 "橢圓中心點到 PQ 線段的距離為定值"，
或是說 "橢圓中心點到 PQ 線段的投影點會在一固定圓上"。