105模擬考

請教模擬考兩題，謝謝

111.6.23補充模擬考連結
D.
如右圖，等腰直角\(\Delta ABC\)中，\(\angle A=90^{\circ}\)，\(D\)為\(\overline{BC}\)的中點，四邊形\(DEFG\)為正方形，且點\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上。若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，則正方形\(DEFG的面積為\)　　　。(化為最簡根式)
105第二次學測北模，https://drive.google.com/drive/f ... nfZOg9pEd9ddaeFkdNp

G.
\(O\)為平面上坐標原點，\(t\)、\(k\)為實數，\(\vec{OP}=t\cdot \vec{u}+(k-t)\cdot \vec{v}\)，其中\(\vec{u}=(2,1)\)，\(\vec{v}=(4,-\frac{1}{2})\)。若存在\(t\)使得線段\(\overline{OP}\)與\(x^2+y^2-6x-8y+24=0\)有交點，求\(k\)的最小值為　　　。
(105第二次學測中模，https://drive.google.com/drive/f ... 5JaczHsWAczE_aEKmtN)

第1題
定坐標
\(D\left( 0,0 \right),A\left( 0,2 \right),C\left( 2,0 \right),B\left( -2,0 \right),G\left( a,b \right)\)

利用旋轉及伸縮變換，可得\(E\left( -b,a \right),F\left( a-b,a+b \right)\)

\(F\)在\(:x+y=2\)上，可得\(a=1\)

\(E\left( -b,1 \right),G\left( 1,b \right)\)

利用\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，可得\(b=-1+\sqrt{2}\)

\(DEFG={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-2\sqrt{2}\)

第二題
與圓相切時會有最小值，此時向量BE為向量BC的兩倍

第2題
向量\(OP\)\(=t+\left( k-t \right)=t\left( 2,1 \right)+\left( k-t \right)\left( 4,-\frac{1}{2}
\right)=\left( -2t+4k,\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}k \right)\)

\(P\)點所形成的直線為\(3x+4y-10k=0\)

此直線與圓\({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1\)相切時，\(k\)有最小值2

第1題也有完全不坐標化的方法 (正餘弦定理 & 旋轉)

假設 \(\overline{DG}=d\)，則 \(\overline{DF}=\sqrt{2}d\)
在\(\triangle DCF\)中，由正弦定理可知 \(\frac{\sqrt{2}d}{\sin{45^{\circ}}}=2R\)，\(R=d\)
又因為 \(G\) 在 \(\triangle DCF\) 內部，故 \(G\) 就是 \(\triangle DCF\)之外心，\(\overline{GC}=d\)

再將 \(\triangle DEB\) 以 \(D\) 為中心逆時針旋轉 \(180^{\circ}\)，
使得 \(B\) 與 \(C\) 重合，\(E\) 變成 \(E’\)
則 \(\triangle E’CG\) 的三邊長正好是直角三角形的三邊長 \(\sqrt{3}d,d,\sqrt{2}d\)
因此 \(\angle CGE’=90^{\circ}\)，而 \(\angle CGD=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}\)
最後在 \(\triangle DCG\) 中使用餘弦定理就解出 \(d\) 了!

\(\overline{CD}^2=d^2+d^2-2dd\cos{135^{\circ}}\)

\(2^2=2d^2+\sqrt{2}d^2\)

\(d^2=\frac{4}{2+\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}\)