Processing Math: 45%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath
‹‹ 上一主題 | 下一主題 ››
發新話題
打印

105模擬考

kingfish

1# 大 中 小 發表於 2017-1-6 16:01  只看該作者

105模擬考

請教模擬考兩題，謝謝

111.6.23補充模擬考連結
D.
如右圖，等腰直角ABC中，A=90 ，D為BC的中點，四邊形DEFG為正方形，且點F在AC邊上。若BE=3CG ，BC=4，則正方形DEFG的面積為　　　。(化為最簡根式)
105第二次學測北模，https://drive.google.com/drive/f ... nfZOg9pEd9ddaeFkdNp

114.4.14補充
等腰直角ABC中，A=90 ，D為BC的中點，四邊形DEFG為正方形，且點F為AC邊上。若BE=3CG ，BC=4，試求正方形DEFG的面積之值？
(114高師大附中，https://math.pro/db/thread-3963-1-1.html)

G.
O為平面上坐標原點，t、k為實數，OP=tu+(k−t)v，其中u=(21)，v=(4−21)。若存在t使得線段OP與x2+y2−6x−8y+24=0有交點，求k的最小值為　　　。
(105第二次學測中模，https://drive.google.com/drive/f ... 5JaczHsWAczE_aEKmtN)

附件

難題mathpro.png (54.26 KB)

2017-1-6 16:01

難題mathpro.png

TOP

thepiano

2# 大 中 小 發表於 2017-1-7 06:14  只看該作者

回復 1# kingfish 的帖子

第1題
定坐標
D00A02C20B−20Gab 

利用旋轉及伸縮變換，可得E−baFa−ba+b 

F在:x+y=2上，可得a=1

E\left( -b,1 \right),G\left( 1,b \right)

利用\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}，可得b=-1+\sqrt{2}

DEFG={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-2\sqrt{2}

TOP

eyeready

3# 大 中 小 發表於 2017-1-7 09:02  只看該作者

回復 1# kingfish 的帖子

第二題
與圓相切時會有最小值，此時向量BE為向量BC的兩倍

附件

螢幕快照 2017-01-07 上午8.59.37.png (47.11 KB)

2017-1-7 09:02

螢幕快照 2017-01-07 上午8.59.37.png

TOP

thepiano

4# 大 中 小 發表於 2017-1-7 09:09  只看該作者

回復 1# kingfish 的帖子

第2題
向量OP=t+\left( k-t \right)=t\left( 2,1 \right)+\left( k-t \right)\left( 4,-\frac{1}{2} \right)=\left( -2t+4k,\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}k \right)

P點所形成的直線為3x+4y-10k=0

此直線與圓{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=1相切時，k有最小值2

TOP

Joy091

5# 大 中 小 發表於 2017-1-9 08:59  只看該作者

回復 1# kingfish 的帖子

第1題也有完全不坐標化的方法 (正餘弦定理 & 旋轉)

假設 \overline{DG}=d，則 \overline{DF}=\sqrt{2}d
在\triangle DCF中，由正弦定理可知 \frac{\sqrt{2}d}{\sin{45^{\circ}}}=2R，R=d
又因為 G 在 \triangle DCF 內部，故 G 就是 \triangle DCF之外心，\overline{GC}=d

再將 \triangle DEB 以 D 為中心逆時針旋轉 180^{\circ}，
使得 B 與 C 重合，E 變成 E’
則 \triangle E’CG 的三邊長正好是直角三角形的三邊長 \sqrt{3}d,d,\sqrt{2}d
因此 \angle CGE’=90^{\circ}，而 \angle CGD=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
最後在 \triangle DCG 中使用餘弦定理就解出 d 了!

\overline{CD}^2=d^2+d^2-2dd\cos{135^{\circ}}

2^2=2d^2+\sqrt{2}d^2

d^2=\frac{4}{2+\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}

附件

北模.png (20.84 KB)

2017-1-9 10:10

北模.png

TOP

‹‹ 上一主題 | 下一主題 ››
發新話題
最近訪問的版塊