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請教1999TRML一題（分式型遞迴數列）

idontnow90

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1^# 大中小發表於 2013-7-3 23:52 只看該作者

請教1999TRML一題（分式型遞迴數列）

題目是求a_1999...我想試著求a_n...但是仿照高中競賽教程P317的方法..死在半路了(如附件)
還請不吝指教...
另外想請教只要是分式型的遞迴...就是用高中競賽教程P317的方法嗎?
這一題我用不動點的方式來做.令x=(1+x)/(1-x)...解出x=i...後續也不會做了@@.
感謝指教!~~

a1=−2，an=1−an−11+an−1，

n

N，欲求一般式。
sol:
an=1+2an−11−an−1

an−1=−2an−1an−1−1－－－(＊)
Let bn=an−1

bn=bn−1−2(1+bn−1)=−2bn−1−2
Let bn=pnqn

pnqn=qn−1−2pn−1−2=qn−1−2pn−1−2qn−1
Let

pn=qn−1qn=−2pn−1−2qn−1

qn=−2qn−2−2qn−1
x2+2x+2=0

x=−1+−i

b1=a1−1=−3=b0−2−2

b0=2=p0q0
取p0=1

q0=2

p1=q0=2q1=−2p0−2q0=−2−4=−6
qn=

(−1+i)n+

(−1−i)n
q1=

(−1+i)1+

(−1−i)1=(−

−

)+(

−

)i=−6
q2=

(−1+i)2+

(−1−i)2=(−2

+2

)i
q0=

+

=2

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-2-9 01:59 PM 編輯 ]

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2013-7-4 15:34

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ichiban

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2^# 大中小發表於 2013-7-4 09:42 只看該作者

我想應該是這樣
至於那本書 , 難度高 , 我看不下去

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bugmens

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3^# 大中小發表於 2013-7-4 10:04 只看該作者

好久沒遇到值得討論的問題了

這題只是要你觀察規律，算一般項反而是畫蛇添足了，但真的要算的話也可以
1.求不動點
x=1−x1+x，得x=+i

−i

2.將不動點代入遞迴式
an−ian+i=1−an−11+an−1−i1−an−11+an−1+i=1−an−11+an−1−i+ian−11−an−11+an−1+i−ian−1=(1−i)+an−1(1+i)(1+i)+an−1(1−i)=an−1+1+i1−ian−1+1−i1+i

1+i1−i=an−1−ian−1+i

(−i)
得到
an−ian+i=an−1−ian−1+i

(−i)

3.繼續遞迴到第一項
an−ian+i=an−1−ian−1+i

(−i)=an−2−ian−2+i

(−i)2=an−3−ian−3+i

(−i)3=

=a1−ia1+i

(−i)n−1

4.將第一項的值代入
an−ian+i=−2−i−2+i

(−1)n−1

5.得到一般項
an=(3−4i)(−i)n−5i5−(3−4i)(−i)n−1，n

1

你可能會納悶不就四個一循環的數列怎麼一般項這麼難看，我另外用maxima-online算出前10項給你看
h ttp://maxima-online.org/#?in=a%5Bn%5D%3A%3D((3-4*%25i)*(-%25i)%5En-5*%25i)%2F(5-(3-4*%25i)*(-%25i)%5E(n-1))%3B%0Acreate_list(ratsimp(a%5Bi%5D)%2Ci%2C1%2C10)%3B　連結已失效

接下來才是我想要講的
你之前的解題策略可能是遇到分式型的題目就想辦法算出一般項，如今你遇到這題只要找出循環節就可以找到答案了，那你的解題策略不就要修正。
我仿照這篇文章你接下來可以問自己幾個問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4239
1.什麼題目只要算循環節就好，什麼題目才要算出一般項？
2.不動點相同的話，我會算一般項嗎？
3.怎樣的分式遞迴數列是不能用這個方法的？
4.上面ichiban是從an

an−1

an−2

an−4，看出an=an−4數列4個一循環，但假如循環節若是質數你會遇到什麼問題？
5.歷屆試題考過哪些分式遞迴數列，你能不能整理出一份筆記？

以下的題目是幫助你回答以上問題，你可以嘗試做看看
a1=0，an=3−an−11+an−1，求a2013=？

a1=2，an=2−1an−1，求a2013=？
https://math.pro/db/thread-1539-1-6.html

a1=3，an=22−an−1，求 a_{2013}= ？

a_1=1 ， \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}^2}{2a_{n-1}+1} ，求數列一般項？
這題比較難不會也沒關係，只是讓你知道怎樣的分式遞迴數列才能用不動點計算
答案 \displaystyle a_n=\frac{1}{2^{2^{n-1}}-1}

歷屆試題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-7-4 11:57 AM 編輯 ]

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idontnow90

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4^# 大中小發表於 2013-7-4 23:42 只看該作者

1.不動點重合的公式..我不是很懂為什麼可以把原式改寫成附件文中P4的(8)?他的證明我看起來很不自然=.="
2.不動點重合想請教是否也有類似您剛po的不動點相異的"不背公式的解法"?
3.我試著去推不動點相異的公式..發現我也死在最後一哩路?怎麼整理都不像公式?還請幫我看一下錯在哪?
4.另外您提供的第3題...我算出來是四循環...但是無法用ichiban老師的方法證明四循環..難道只能傻傻的一直代入嗎?

感謝您~提供我很多思考的點..我會努力學習的^_^..謝謝~

附件

IMG_7826.JPG (156.44 KB)

2013-7-5 12:53

遞迴數列與不動點.pdf (424.38 KB): 2013-7-4 23:42, 下載次數: 13749

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YAG

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5^# 大中小發表於 2013-7-5 19:22 只看該作者

回復 2# ichiban 的帖子

最後可以得到一個用三角函數表示的公式，這樣，它具有週期性就毫不奇怪了。

[ 本帖最後由 YAG 於 2013-7-5 07:29 PM 編輯 ]

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999.jpg (195.92 KB)

2013-7-5 19:23

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bugmens

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6^# 大中小發表於 2013-7-5 21:20 只看該作者

感謝YAG整理出最後的三角函數答案,比我的複數答案直觀多了

1.不動點重合的公式..我不是很懂為什麼可以把原式改寫成附件文中P4的(8)?他的證明我看起來很不自然=.="
我用這個題目舉例 \displaystyle a_n=2-\frac{1}{a_{n-1}}
已知不動點是1，兩邊同減1
\displaystyle a_n-1=1-\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}}
兩邊倒數
\displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}-1}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+1
這題的k就是1

2.不動點重合想請教是否也有類似您剛po的不動點相異的"不背公式的解法"?
其實我沒背公式,我是用上面的方法直接算的

3.我試著去推不動點相異的公式..發現我也死在最後一哩路?怎麼整理都不像公式?還請幫我看一下錯在哪?
其實 \displaystyle -x_1=\frac{b-dx_1}{a-cx_1} 乘開就是 cx_1^2+(d-a)x_1-b=0
也就是 x=x_1 代入方程式 cx^2+(d-a)x-b=0 的結果

所以你寫的最後 \displaystyle \frac{U_1+\frac{b-dx_1}{a-cx_1}}{U_1+\frac{b-dx_2}{a-cx_2}}

可以換成 \displaystyle \frac{U_1-x_1}{U_1-x_2}

只是數學傳播用的符號是 f_1,f_2 而你用的是 x_1,x_2

4.另外您提供的第3題...我算出來是四循環...但是無法用ichiban老師的方法證明四循環..難道只能傻傻的一直代入嗎?
我自己算的話就直接代，反正題目不可能出太多的循環節

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tsusy

寸絲

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7^# 大中小發表於 2013-7-5 21:43 只看該作者

回復 4# idontnow90 的帖子

2.不動點重合想請教是否也有類似您剛po的不動點相異的"不背公式的解法"?

其實不管重不重合的公式，我都沒記得過，證明的部分，也是看數學傳播那篇和高中數學競賽教程。

不過看過也都丟掉了，應該說我丟了一半，另一半引入矩陣、特徵值、矩陣的高次方。

碰到重根的話，那砸 Jordan Form。作法就如 #5 YAG 老師，引入 p_n, q_n ，

令 v_{n}=\begin{bmatrix}p_{n}\\ q_{n} \end{bmatrix} ，則有遞迴關係式 v_{n+1}=Av_{n} 。

沒有重根，就對角化，有重根就 Jordan Form

對我來說，這樣的證明或作法，比較自然，引入矩陣去處理遞迴關係，可以免掉一下繁鎖的細節。

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idontnow90

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8^# 大中小發表於 2013-7-6 14:55 只看該作者

剛剛那題a_1=2,a_n=2-1/a_{n-1} 我減去不動點後.累加算出來了..
可是a_1=0,a_n=(1+a_{n-1})/(3-a_{n-1}) 我也是減去不動點..但算出來答案很明顯不對...
我也用寸絲老師提供的----碰到重根的話，那砸 Jordan Form。作法就如 #5 YAG 老師，
但是卻算到矛盾的結果...
兩種算法我都po上來...可以幫我看一下問題在哪嗎?並告訴我到底該怎麼解嗎?謝謝~~

附件

IMG_8013.JPG (208.21 KB)

2013-7-6 16:13

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tsusy

寸絲

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9^# 大中小發表於 2013-7-6 15:51 只看該作者

回復 7# tsusy 的帖子

Jordan form 的最後兩行，你忘記把 n 代值了

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bugmens

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10^# 大中小發表於 2013-7-6 16:01 只看該作者

\displaystyle a_n=\frac{1+a_{n-1}}{3-a_{n-1}}

\displaystyle a_n-1=\frac{(1+a_{n-1})-(3-a_{n-1})}{3-a_{n-1}}=\frac{2 a_{n-1}-2}{-a_{n-1}+3}

\displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{-a_{n-1}+3}{2(a_{n-1}-1)}=\frac{-(a_{n-1}-1)+2}{2(a_{n-1}-1)}=\frac{1}{a_{n-1}-1}-\frac{1}{2}

若覺得上式不夠直覺的話，也可以比較下列兩個式子的係數得到 \displaystyle k=-\frac{1}{2}
\displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{-a_{n-1}+3}{2(a_{n-1}-1)}

\displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+k

\displaystyle \frac{-a_{n-1}+3}{2(a_{n-1}-1)}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+k

另外看你的算式，你可能搞錯其中的觀念了
\displaystyle a_n-1=-2 \frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-3} 無法得到 \displaystyle a_n-1=(-2)^{n-1} \frac{a_1-1}{a_1-3}

除非遞迴式是下列的形式才能遞迴到第一項
\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n-3}=-2 \times \frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-3}=(-2)^2 \frac{a_{n-2}-1}{a_{n-2}-3}=\ldots=(-2)^{n-1} \frac{a_1-1}{a_1-3}
或者有人會這樣寫
令 \displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n-3} ， \displaystyle b_1=\frac{a_1-1}{a_1-3}
b_n=-2 \times b_{n-1}=(-2)^2 \times b_{n-2}=\ldots=(-2)^{n-1}b_1

寸絲的答覆
Jordan form 的最後兩行，你忘記把 n 代值了

P_1=A \times 2+Bn \times 2^0=2A+B \times 1=1
P_2=A \times 2^2+Bn \times 2^1=4A+2B \times 2=3
這樣就可以算出A,B了

最後你要知道現在不是考試，用複雜的方法解題倒是沒關係
但考試時記得這類型的題目還是直接算 \displaystyle a_2=\frac{1}{3},a_3=\frac{2}{4},a_4=\frac{3}{5},a_5=\frac{4}{6},\ldots
從前幾項可以看出規律，得到 a_{2013} 的值。

解題策略可以修正為
(1)不動點相異，用原來的方法求一般項
(2)不動點為相等實根，直接算前幾項觀察一般項的規律
(3)不動點為虛根，為循環數列代值找循環節

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