請教2題排列組合

1. 兩位以上的正整數（包含兩位數），從左到右，數字越來越小的共有多少個？

Ans：1013個


2. 從1，2，3，4，5，6中，六個數值相加得到S1；任取兩個相異數值相乘，取

遍後相加得S2；任取三個相異數值相乘，取遍後相加得S3；任取四個相異數

值相乘，取遍後相加得S4；任取五個相異數值相乘，取遍後相加得S5；六個

數值相乘得到S6，求S1+S2+S3+S4+S5+S6的值。

Ans：5039


煩請高手解答

謝謝

2.從1，2，3，4，5，6中，六個數值相加得到S1；任取兩個相異數值相乘，取遍後相加得S2；任取三個相異數值相乘，取遍後相加得S3；任取四個相異數值相乘，取遍後相加得S4；任取五個相異數值相乘，取遍後相加得S5；六個數值相乘得到S6，求S1+S2+S3+S4+S5+S6的值。
[提示]
可參考這篇　https://math.pro/db/thread-807-1-2.html

1. 兩位以上的正整數（包含兩位數），從左到右，數字越來越小的共有多少個？

　解答：

　先寫好 \(9876543210\)，再從中取走零個、一個、兩個、三個、‧‧‧‧‧‧、或八個數字（digits），

　剩下沒有取走的，即為符合題目要求的數字（number）。

　因此，此種數字的個數為 \(\displaystyle C^{10}_0+C^{10}_1+C^{10}_2+\cdots+C^{10}_8=2^{10}-\left(C^{10}_9+C^{10}_{10}\right)=1013.\)





　或是直接想，

　由 \(0,1,2,\cdots,9\) 之中選取兩個、三個、‧‧‧‧‧‧、或十個數字（digits），

　而選出數字的由左至右的排列順序，只能由大至小一種排法，

　所以，選出的方法數為 \(\displaystyle C^{10}_2+C^{10}_3+C^{10}_4+\cdots+C^{10}_{10}=2^{10}-\left(C^{10}_0+C^{10}_1\right)=1013.\)