請教1999TRML一題（分式型遞迴數列）

題目是求a_1999...我想試著求a_n...但是仿照高中競賽教程P317的方法..死在半路了(如附件)
還請不吝指教...
另外想請教只要是分式型的遞迴...就是用高中競賽教程P317的方法嗎?
這一題我用不動點的方式來做.令x=(1+x)/(1-x)...解出x=i...後續也不會做了@@.
感謝指教!~~

\( a_1=-2 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}} \)，\( \forall n \in N \)，欲求一般式。
sol:
\( \displaystyle a_n=1+\frac{2a_{n-1}}{1-a_{n-1}} \Rightarrow a_{n-1}=\frac{-2a_{n-1}}{a_{n-1}-1} \)－－－(＊)
Let \( \displaystyle b_n=a_n-1 \Rightarrow b_n=\frac{-2(1+b_{n-1})}{b_{n-1}}=\frac{-2}{b_{n-1}}-2 \)
Let \( \displaystyle b_n=\frac{q_n}{p_n} \Rightarrow \frac{q_n}{p_n}=\frac{-2p_{n-1}}{q_{n-1}}-2=\frac{-2p_{n-1}-2q_{n-1}}{q_{n-1}} \)
Let \( \cases{p_n=q_{n-1} \cr q_n=-2p_{n-1}-2q_{n-1}} \Rightarrow q_n=-2q_{n-2}-2q_{n-1} \)
\( x^2+2x+2=0 \Rightarrow x=-1+-i \)

\( \displaystyle b_1=a_1-1=-3=\frac{-2}{b_0}-2 \Rightarrow b_0=2=\frac{q_0}{p_0} \)
取\( p_0=1,q_0=2 \Rightarrow \matrix{p_1=q_0=2 \cr q_1=-2p_0-2q_0=-2-4=-6} \)
\( q_n=\alpha(-1+i)^n+\beta(-1-i)^n \)
\( q_1=\alpha(-1+i)^1+\beta(-1-i)^1=(-\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)i=-6 \)
\( q_2=\alpha(-1+i)^2+\beta(-1-i)^2=(-2 \alpha+2 \beta)i \)
\( q_0=\alpha+\beta=2 \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-2-9 01:59 PM 編輯 ]

我想應該是這樣
至於那本書 , 難度高 , 我看不下去

好久沒遇到值得討論的問題了

這題只是要你觀察規律，算一般項反而是畫蛇添足了，但真的要算的話也可以
1.求不動點
\( \displaystyle x=\frac{1+x}{1-x} \)，得\( x=+i,-i \)

2.將不動點代入遞迴式
\( \displaystyle \frac{a_n+i}{a_n-i}=\frac{\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}}+i}{\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}}-i}=\frac{\frac{1+a_{n-1}+i-i a_{n-1}}{1-a_{n-1}}}{\frac{1+a_{n-1}-i+i a_{n-1}}{1-a_{n-1}}}=\frac{(1+i)+a_{n-1}(1-i)}{(1-i)+a_{n-1}(1+i)}=\frac{a_{n-1}+\frac{1+i}{1-i}}{a_{n-1}+\frac{1-i}{1+i}} \times \frac{1-i}{1+i}=\frac{a_{n-1}+i}{a_{n-1}-i}\times (-i) \)
得到
\( \displaystyle \frac{a_n+i}{a_n-i}=\frac{a_{n-1}+i}{a_{n-1}-i}\times (-i) \)

3.繼續遞迴到第一項
\( \displaystyle \frac{a_n+i}{a_n-i}=\frac{a_{n-1}+i}{a_{n-1}-i}\times (-i)=\frac{a_{n-2}+i}{a_{n-2}-i}\times (-i)^2=\frac{a_{n-3}+i}{a_{n-3}-i}\times (-i)^3=\ldots=\frac{a_1+i}{a_1-i}\times (-i)^{n-1} \)

4.將第一項的值代入
\( \displaystyle \frac{a_n+i}{a_n-i}=\frac{-2+i}{-2-i}\times (-1)^{n-1} \)

5.得到一般項
\( \displaystyle a_n=\frac{(3-4i)(-i)^n-5i}{5-(3-4i)(-i)^{n-1}} \)，\( n \ge 1 \)

你可能會納悶不就四個一循環的數列怎麼一般項這麼難看，我另外用maxima-online算出前10項給你看
h ttp://maxima-online.org/#?in=a%5Bn%5D%3A%3D((3-4*%25i)*(-%25i)%5En-5*%25i)%2F(5-(3-4*%25i)*(-%25i)%5E(n-1))%3B%0Acreate_list(ratsimp(a%5Bi%5D)%2Ci%2C1%2C10)%3B　連結已失效


接下來才是我想要講的
你之前的解題策略可能是遇到分式型的題目就想辦法算出一般項，如今你遇到這題只要找出循環節就可以找到答案了，那你的解題策略不就要修正。
我仿照這篇文章你接下來可以問自己幾個問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4239
1.什麼題目只要算循環節就好，什麼題目才要算出一般項？
2.不動點相同的話，我會算一般項嗎？
3.怎樣的分式遞迴數列是不能用這個方法的？
4.上面ichiban是從\( a_n \mapsto a_{n-1} \mapsto a_{n-2} \mapsto a_{n-4} \)，看出\( a_n=a_{n-4} \)數列4個一循環，但假如循環節若是質數你會遇到什麼問題？
5.歷屆試題考過哪些分式遞迴數列，你能不能整理出一份筆記？

以下的題目是幫助你回答以上問題，你可以嘗試做看看
\( a_1=0 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{1+a_{n-1}}{3-a_{n-1}} \)，求\( a_{2013}= \)？

\( a_1=2 \)，\( a_n=2-\frac{1}{a_{n-1}} \)，求\( a_{2013}= \)？
https://math.pro/db/thread-1539-1-6.html

\( a_1=3 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{2}{2-a_{n-1}} \)，求\( a_{2013}= \)？

\( a_1=1 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}^2}{2a_{n-1}+1} \)，求數列一般項？
這題比較難不會也沒關係，只是讓你知道怎樣的分式遞迴數列才能用不動點計算
答案\( \displaystyle a_n=\frac{1}{2^{2^{n-1}}-1} \)

歷屆試題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-7-4 11:57 AM 編輯 ]

1.不動點重合的公式..我不是很懂為什麼可以把原式改寫成 附件文中P4的(8)?他的證明我看起來很不自然=.="
2.不動點重合想請教是否也有類似您剛po的不動點相異的"不背公式的解法"?
3.我試著去推不動點相異的公式..發現我也死在最後一哩路?怎麼整理都不像公式?還請幫我看一下錯在哪?
4.另外您提供的第3題...我算出來是四循環...但是無法用ichiban老師的方法證明四循環..難道只能傻傻的一直代入嗎?

感謝您~提供我很多思考的點..我會努力學習的^_^..謝謝~

最後可以得到一個用三角函數表示的公式，這樣，它具有週期性就毫不奇怪了。

[ 本帖最後由 YAG 於 2013-7-5 07:29 PM 編輯 ]

感謝YAG整理出最後的三角函數答案,比我的複數答案直觀多了

1.不動點重合的公式..我不是很懂為什麼可以把原式改寫成 附件文中P4的(8)?他的證明我看起來很不自然=.="
我用這個題目舉例\( \displaystyle a_n=2-\frac{1}{a_{n-1}} \)
已知不動點是1，兩邊同減1
\( \displaystyle a_n-1=1-\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}} \)
兩邊倒數
\( \displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}-1}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+1 \)
這題的k就是1


2.不動點重合想請教是否也有類似您剛po的不動點相異的"不背公式的解法"?
其實我沒背公式,我是用上面的方法直接算的


3.我試著去推不動點相異的公式..發現我也死在最後一哩路?怎麼整理都不像公式?還請幫我看一下錯在哪?
其實\( \displaystyle -x_1=\frac{b-dx_1}{a-cx_1} \)乘開就是\( cx_1^2+(d-a)x_1-b=0 \)
也就是\( x=x_1 \)代入方程式\( cx^2+(d-a)x-b=0 \)的結果

所以你寫的最後\( \displaystyle \frac{U_1+\frac{b-dx_1}{a-cx_1}}{U_1+\frac{b-dx_2}{a-cx_2}} \)

可以換成\( \displaystyle \frac{U_1-x_1}{U_1-x_2} \)

只是數學傳播用的符號是\( f_1,f_2 \)而你用的是\( x_1,x_2 \)


4.另外您提供的第3題...我算出來是四循環...但是無法用ichiban老師的方法證明四循環..難道只能傻傻的一直代入嗎?
我自己算的話就直接代，反正題目不可能出太多的循環節

2.不動點重合想請教是否也有類似您剛po的不動點相異的"不背公式的解法"?

其實不管重不重合的公式，我都沒記得過，證明的部分，也是看數學傳播那篇和高中數學競賽教程。

不過看過也都丟掉了，應該說我丟了一半，另一半引入矩陣、特徵值、矩陣的高次方。

碰到重根的話，那砸 Jordan Form。作法就如 #5 YAG 老師，引入 \( p_n, q_n \)，

令 \( v_{n}=\begin{bmatrix}p_{n}\\
q_{n}
\end{bmatrix} \)，則有遞迴關係式 \( v_{n+1}=Av_{n} \)。

沒有重根，就對角化，有重根就 Jordan Form

對我來說，這樣的證明或作法，比較自然，引入矩陣去處理遞迴關係，可以免掉一下繁鎖的細節。

剛剛那題a_1=2,a_n=2-1/a_{n-1} 我減去不動點後.累加算出來了..
可是a_1=0,a_n=(1+a_{n-1})/(3-a_{n-1}) 我也是減去不動點..但算出來答案很明顯不對...
我也用寸絲老師提供的----碰到重根的話，那砸 Jordan Form。作法就如 #5 YAG 老師，
但是卻算到矛盾的結果...
兩種算法我都po上來...可以幫我看一下問題在哪嗎?並告訴我到底該怎麼解嗎?謝謝~~

Jordan form 的最後兩行，你忘記把 n 代值了

\( \displaystyle a_n=\frac{1+a_{n-1}}{3-a_{n-1}} \)

\( \displaystyle a_n-1=\frac{(1+a_{n-1})-(3-a_{n-1})}{3-a_{n-1}}=\frac{2 a_{n-1}-2}{-a_{n-1}+3} \)

\( \displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{-a_{n-1}+3}{2(a_{n-1}-1)}=\frac{-(a_{n-1}-1)+2}{2(a_{n-1}-1)}=\frac{1}{a_{n-1}-1}-\frac{1}{2} \)

若覺得上式不夠直覺的話，也可以比較下列兩個式子的係數得到\( \displaystyle k=-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{-a_{n-1}+3}{2(a_{n-1}-1)} \)

\( \displaystyle \frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+k \)

\( \displaystyle \frac{-a_{n-1}+3}{2(a_{n-1}-1)}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+k \)


另外看你的算式，你可能搞錯其中的觀念了
\( \displaystyle a_n-1=-2 \frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-3} \)無法得到\( \displaystyle a_n-1=(-2)^{n-1} \frac{a_1-1}{a_1-3} \)


除非遞迴式是下列的形式才能遞迴到第一項
\( \displaystyle \frac{a_n-1}{a_n-3}=-2 \times \frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-3}=(-2)^2 \frac{a_{n-2}-1}{a_{n-2}-3}=\ldots=(-2)^{n-1} \frac{a_1-1}{a_1-3} \)
或者有人會這樣寫
令\( \displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n-3} \)，\( \displaystyle b_1=\frac{a_1-1}{a_1-3} \)
\( b_n=-2 \times b_{n-1}=(-2)^2 \times b_{n-2}=\ldots=(-2)^{n-1}b_1 \)


寸絲的答覆
Jordan form 的最後兩行，你忘記把 n 代值了

\( P_1=A \times 2+Bn \times 2^0=2A+B \times 1=1 \)
\( P_2=A \times 2^2+Bn \times 2^1=4A+2B \times 2=3 \)
這樣就可以算出A,B了


最後你要知道現在不是考試，用複雜的方法解題倒是沒關係
但考試時記得這類型的題目還是直接算\( \displaystyle a_2=\frac{1}{3},a_3=\frac{2}{4},a_4=\frac{3}{5},a_5=\frac{4}{6},\ldots \)
從前幾項可以看出規律，得到\( a_{2013} \)的值。

解題策略可以修正為
(1)不動點相異，用原來的方法求一般項
(2)不動點為相等實根，直接算前幾項觀察一般項的規律
(3)不動點為虛根，為循環數列代值找循環節