第 1 題：
\(\triangle ABC\) 中﹐已知 \(\overline{AB}= 4﹐\overline{BC}= 5﹐\overline{CA}= 6\)，\(\triangle ABC\) 內部一點 \(P\) 到 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) 的距離分別為 \(h_1﹐h_2﹐h_3\)，則 \(h_1^2 + h_2^2 + h_3^2\) 的最小值為___________。
解答：
三角形面積＝\(\displaystyle \frac{1}{2}\times4\times h_1+\frac{1}{2}\times5\times h_2+\frac{1}{2}\times6\times h_4=\sqrt{\left(\frac{4+5+6}{2}\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-4\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-5\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-6\right)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 4h_1+5h_2+6h_3 = \frac{15\sqrt{7}}{2}\)
由柯西不等式，
\(\left(4^2+5^2+6^2\right)\left(h_1^2+h_2^2+h_3^2\right)\geq \left(4h_1+5h_2+6h_3\right)^2\)
可得 \(h_1^2+h_2^2+h_3^2\) 的最小值為 \(\displaystyle \frac{\left(\frac{15\sqrt{7}}{2}\right)^2}{4^2+5^2+6^2}=\frac{225}{44}\).
112.6.8
若\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{AC}=6\)、\(\overline{BC}=7\)，且\(P\)為三邊上或其內部的任一點，則點\(P\)到三頂點距平方和\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)有最小值時，\(\overline{PA}^2=\)
。
(112新竹女中代理，
https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)
第 10 題：
已知 \(x+2y+3z=14,x^2+y^2+z^2=196\)，\(x,y,z\in \mathbb{R}\)，求 \(z\) 之最大值為？
解答：
利用科西不等式
\(\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(x+2y\right)^2\)
可得
\(5\left(196-z^2\right)\geq\left(14-3z\right)^2\)
\(\Rightarrow z^2-6z-56\leq0\)
\(\Rightarrow 3-\sqrt{65}\leq z\leq3+\sqrt{65}\)
故，\(z\) 的最大值為 \(3+\sqrt{65}.\)
第 14 題：
設 \(f(x)=x^2+ax+b\)，若\(f\left(f\left(x\right)\right)<f\left(x\right)\) 的解為 \(-2<x<-1\) 或 \(4<x<5\)，則序對\(\left(a, b\right)=\)？
解答：
\(f(f(x))-f(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+a x+b)^2+a(x^2+a x+b)+b-(x^2+a x+b)<0\)
\(\Leftrightarrow x^4+2ax^3+\left(a^2+a-1+2b\right)x^2+\left(a^2-a+2ab\right)x+\left(ab+b^2\right)<0\)
同義於
\(\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)<0\)
\(\Leftrightarrow x^4-6x^3-5x^2+42x+40<0\)
兩者因為首項係數相同，所以比較係數可得
\(a=-3,\, b=-5.\)
