證明題
第一題 \(\displaystyle \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \) (0.0005...<0.0178...<0.0227...)
在網路上看到更好的上下界為:
\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{999}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{\sqrt{3\times999+1}} \) (0.0158...<0.0178...<0.0182...)
一般式: \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}} \) (數學歸納法)
網址:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/inequality.shtml
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/inequality.shtml
P.S.
其中 \(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998} \) 的近似值 0.0178... 是由 R 軟體所算出
參考指令為:
x=1:999
for(k in 1:999) x[k]=(2*k-1)/(2*k)
z=1
for(k in 1:999) z=z*x[k]
z
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本帖最後由 Joy091 於 2013-8-12 01:20 PM 編輯 ]
