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98高雄市聯招

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2009-6-22 23:33, 下載次數: 3610

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1.將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列,求此數列第1000項之值。

補上出處,新奧數教程 高一 第2講 有限集元素的數目
将与105互质的所有正整数以小到大排成数列,求这个数列的第1000项。
其餘題目可參考http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834
的"奧數教程.rar"

3.平面上有一四邊形ABCD,其頂點分別為\( A(0,0) \),\( B(2,1) \),\( C(3,4) \),\( D(-1,7) \),此平面上另P,Q兩點,使得\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)與\( \overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD} \)均有最小值,試求P,Q座標。
[提示]
令\( P(x,y) \),配方法求最小值
\( \overline{AC} \),\( \overline{BD} \)的交點為Q

二、證明題
1.證明:\( \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)

102.08.19補充出處
Prove that \( \displaystyle \frac{1}{1999}< \prod_{i=1}^{999}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{44} \)
(Canada National Olympiad 1997,http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1997)


補充一題
\( \frac{1}{2001}<\frac{2 \times 4 \times 6 \times ... \times 2000 }{1 \times 3 \times 5 \times ... \times 2001 }<\frac{20 \sqrt{10}}{2001} \)
(高中數學能力競賽 90高屏區競試(二))

2.給定空間中四面體OABC,其中三邊\( \overline{OA} \),\( \overline{OB} \),\( \overline{OC} \)兩兩垂直,若\( a△ABC \),\( a△OAB \),\( a△OBC \),\( a△OAC \)分別代表\( △ABC \),\( △OAB \),\( △OBC \),\( △OAC \)的面積,試證:\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

補上一題,新奧數教程 高二 第11講 四面體
已知四面体V-ABC中,棱VA、VB、VC两两垂直,三角形VBC、VCA、VAB和ABC的面积分别为\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)、\( S \)。求证:\( S^2_1+S^2_2+S^2_3=S^2 \)。

提供另外一種方法
令\( A=(a,0,0) \),\( B=(0,b,0) \),\( C=(0,0,c) \)
\( \vec{AB}=(-a,b,0) \),\( \vec{AC}=(-a,0,c) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}(|\ \vec{AB} |\ ^2 \cdot |\ \vec{AC} |\ ^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2 ) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}((a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4)=\frac{1}{4}\cdot a^2 b^2+\frac{1}{4}\cdot b^2 c^2+\frac{1}{4}\cdot c^2 a^2 \)
\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

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2010-5-18 21:49

第5題.gif

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請問計算第4題要怎麼做呢?

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您好,想請教一下第5題 第7題 第8題如何作

您好,想請教一下第5題 第7題 第8題如何作,謝謝 bugmens 老師

                                                                                           Jacobi

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一、計算題,第 5 題

已知 \(x,y,z\) 均為實數,且 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{2^x} + {3^y} + {5^z} = 7}  \\
   {{2^{x - 1}} + {3^y} + {5^{z + 1}} = 11}  \\
\end{array}} \right.\),

若 \(t = {2^{x + 1}} + {3^y} + {5^{z - 1}}\),試求 \(t\) 的範圍.



解答:

令 \(\displaystyle a=2^x, b=3^y, c=5^z\),則

\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {a + b + c = 7}  \\
   {\displaystyle \frac{a}{2} + b + 5c = 11}  \\
\end{array}} \right.\) 且 \(\displaystyle a,b,c>0\),


得此兩平面部分交線段的參數式 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {a = 0 + 8k}  \\
   {b = 6 - 9k}  \\
   {c = 1 + k}  \\
\end{array}} \right.\),


其中 \(\displaystyle a,b,c>0\Rightarrow 0<k<\frac{2}{3}\)


故,

\(\displaystyle t=2a+b+\frac{c}{5}=\frac{31+36k}{5}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{31}{5}<t<11.\)








第 8 題

設整數數多項式 \(A\left(x\right)\) 除以 \(x^2+1\),餘式為 \(px+q\),

若 \(f\left(A\left(x\right)\right)=pi+q\) 恆成立(其中 \(i\) 為虛數單位),

求 \(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}}\) 的值?


解答:

依題意,

因為 \(\displaystyle x^5+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(2x+1\),

所以 \(\displaystyle f(x^5+x+1)=2i+1.\)

因為 \(\displaystyle x^{10}+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(x\),

所以 \(\displaystyle f(x^{10}+x+1)=i.\)

故,

\(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}} = \frac{{i }}{2i+1} =\frac{2+i}{5}.\)

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請教第三題
為什麼Q為AC和BD的交點?
謝謝

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引用:
原帖由 johncai 於 2010-7-11 07:36 PM 發表
請教第三題
為什麼Q為AC和BD的交點?
謝謝
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=725&start=10
這位仁兄,問題除了這樣問以外
還可以利用網頁右上角的短消息!

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恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎?

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引用:
原帖由 johncai 於 2010-7-11 11:38 PM 發表
恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎?
不一定要給原作
任何人(包括站主,板主)你都可以問
只要打上相對應的帳號即可

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回復 3# omfun 的帖子

感謝 Pacers31 指正,下面是錯的...不小心誤會題意了,請往下找解答

解1:

若安全,1 的上方必為 2 或沒有。如果 2 在 1 上一層,那麼必是 3 在 2 上,或沒有東西在 2 上。

因此可類推至由上至下到 1 出現,必為連續正整數的型: \( k_{1},k_1-1,k_1-2,\ldots 1\);

接著不看這 k_1 個,我們又會有相同之結論,即 1 的下方將是連續正整數 \( k_{1}+k_{2},k_{1}+k_{2}-1,\ldots,k_{1}+1 \);

重覆推論得第一個大層 \( k_{1} \)個最小連續整,第一個大層 \( k_{2} \) 個剩於的最小連續整數…

第 j 層 \( k_{j} \) 個剩於最小的連續整數。其中 \( k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{j}=n \), \( k_{j} \) 為正整數。(總共分 j 大層)

所以共有 \( \sum_{j=1}^{n}H_{n-j}^{j}=\sum_{j=1}^{n}C_{n-j}^{n-1}=2^{n-1} \) 種不會傾倒的情形。

所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

解2:
考慮以逐次插入的方式,依小到大的方式插入。
第一步,放一個 1。

第二步, 2 可選擇在 1 的上方或下方。

第三步,3 可放在 2 上方的位置,或最下。

而不能放在 1 上方的位置,因為往後愈來愈大,不可能在 3 和 1 中間放入可安全疊起的的方式。

第四步,同上, 4 僅能放在 3 上方的位置,或最下。

...

得安全的放法僅有 \( 2^{n-1} \)

因此所求機率為  \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-25 05:06 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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