4.
設\(A=\left[\matrix{2&4\cr 1&-1}\right]\)，二階方陣\(X\)、\(Y\)滿足\(X+Y=I\)且\(XY=O\)，其中\(I=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)、\(O=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)。若存在實數\(a>b\)使得\(A=aX+bY\)，則\(a^b\)之值為
。
[速解]
計算矩陣\(A\)特徵值，\(\left|\ \matrix{2-\lambda&4 \cr 1&-1-\lambda} \right|=0\)，\(\lambda=3,-2\)
因為\(a>b\)，取\(a=3,b=-2\)，\(\displaystyle a^b=\frac{1}{9}\)
原理請參閱
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262
7.
設\(n\)為正奇數，黑箱中有\(n\)枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為\(\displaystyle \frac{4}{7}\)，則正奇數\(n=\)
。
有置於黑箱中的七枚硬幣，其中一枚兩面皆是人頭，一枚兩面皆是字，其餘五枚一面是人頭一面是字，將手伸入箱中握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，試問另一面也是人頭的機率是多少？
(1)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (2)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (3)\(\displaystyle \frac{2}{7}\) (4)\(\displaystyle \frac{1}{6}\) (5)\(\displaystyle \frac{1}{7}\)
97研究用試卷，
https://math.pro/db/thread-3767-1-1.html
16.
已知一四邊形的紙張\(ABCD\)，其中\(\angle A=\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AD}=10\)，\(\overline{CD}=5\)。沿著\(\overline{BD}\)摺起平面\(ABD\)，使得點\(A\)在平面\(BCD\)的投影點\(P\)落在\(\overline{BC}\)上，若摺起後四面體\(ABCD\)的體積為20，則摺起後點\(B\)到平面\(ACD\)的距離為
。
二、計算證明題
1.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式為\(\cases{a_1=1\cr 3a_{n+1}=\pi \cdot sin(a_n)，n\in N}\)，
(1)請說明\(\langle\;a_n\rangle\;\)是否為有界數列？
(2)請判斷\(\langle\;a_n\rangle\;\)是否為遞增數列或遞減數列？請證明之。
2.
在坐標平面上，設點\(O\)為原點，已知橢圓\(\Gamma\)：\(
\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a>b>0\)。若\(P,Q\)為橢圓\(\Gamma\)上任意兩點，試求\(\Delta OPQ\)面積之最大值。
