1.
有一個三位數滿足數字重新排列後所得之最大數與最小數的差值為原三位數，則此三位數為
。
有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數，將這四位數的各位數字重新排列，可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後，最大數為9732，最小數為2379)，如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數，試求所有這種四位數。
(100第一區筆試一試題，
https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
6174妙題巧解，
https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d32/3206.pdf
3.
函數\(f(x)=\sqrt{x^2-2x+12-6\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-12x+39-2\sqrt{2}}\)，其中\(x\)為實數，則\(f(x)\)的最大值為
。
[提示]
\(f(x)=\sqrt{(x-1)^2+(3-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(x-6)^2+(1-\sqrt{2})^2}\)
4.
將1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數字隨機填入\(3\times 3\)的方格表中，每個小方格恰填寫一個數字，且所填的數各不相同，則使每行、每列之和都是奇數的機率為
。
將\(1,2,3,\ldots,9\)共9個數字任意填入\(3\times 3\)的方格中，每一格填一個數字，且數字不重覆。欲使每一直行和每一橫列(不含對角線)的數字和皆為奇數，如圖(三)是一種填法，則共有
種填法。(答案要乘開。)
１２４
３６８
５７９
圖(三)
(105嘉義高中資優甄選複選，
https://math.pro/db/thread-2628-1-1.html)
7.
下圖為一八面體，頂部與頂部與底部均為正三角形，邊長分別為15、27單位，側面均為等腰三角形且腰長為\(a\)單位，若此四面體的高，即頂部平面與底部平面的垂直距離為\(\sqrt{141}\)，則\(a=\)
。
[解答]
設大正三角形重心\(G_1(0,0,0)\)，\(\displaystyle A(\frac{9\sqrt{3}}{2},\frac{27}{2},0)\)
設小正三角形重心\(G_2(0,0,\sqrt{141})\)，\(\displaystyle B(5\sqrt{3},0,\sqrt{141})\)
\(\displaystyle a=\overline{AB}=\sqrt{(\frac{9\sqrt{3}}{2}-5\sqrt{3})^2+(\frac{27}{2}-0)^2+(0-\sqrt{141})^2}=18\)
18.
若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加，得總和為2025，所有滿足上述的自然數\(m,n\)中，\(3m+4n\)的最大值為
。
設有\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)個互不相同的正奇數之和為2012，則\(5m+12n\)的最大值為
。
(101台中女中，cplee8tcfsh解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463)
\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和為1987，求\(3m+4n\)的最大值。
(108基隆女中，thepiano解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3186&page=3#pid20433)
計算證明題
1.
設\(a,b,c>0\)，試證明：\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)。
3.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，\(a_1=4\)，\(a_2=5\)，若\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}^2-1}{a_{n-2}}\)，\(n\ge 3\)，\(n\in N\)，
(1)求此數列的一般項\(a_n\)
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{a_n}}\)的整數部分為何？
[提示]
計算\(a_1=4,a_2=5,a_3=6,a_4=7,\ldots\)，猜測\(a_n=n+3\)，驗證\(\displaystyle n+3=\frac{(n+2)^2-1}{n+1}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{n+3}}\)，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048
