引用:
原帖由 HC3064 於 2020-6-1 15:50 發表 
想請教版上老師填充第九題，謝謝。
依題意 所求為
\(\displaystyle \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{12-k} k(k+2)=\frac{1}{4^{12}}\left( \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2+ 2\sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \right) \)
其中
\( \displaystyle \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \)
我把它想成 「從12人挑k人不參加運動比賽，其他(12-k)個人從三個項目中選擇其中一種；另外再從不參加的k個人中，挑1人來擔任領隊」
所以將k=0~k=12 的情形連加起來後，就可以得到
「12人中先挑一人擔任領隊(不參加比賽)，其餘11人可以參加比賽(三選一)或不參加比賽。」
即是 \( \displaystyle 12\times 4^{11} \)
同理，\( \displaystyle \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2 = 12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10} \) (不參加的人要有人擔任領隊與經理，可同一人擔任)
所以所求為 \(\displaystyle \frac{1}{4^{12}}\left((12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10})+2(12\times4^{11})\right)=\frac{4^{11}\left((12+3\times 11)+2\times(12)\right)}{4^{12}} =\frac{69}{4}\)
