3.
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=3\)，沿\(\overline{AC}\)將矩形\(ABCD\)折成一個直二面角\(B-\overline{AC}-D\)，則四面體\(ABCD\)的外接球的體積為？
(A)\(\displaystyle \frac{125}{12}\pi\) (B)\(\displaystyle \frac{125}{9}\pi\) (C)\(\displaystyle \frac{125}{6}\pi\) (D)\(\displaystyle \frac{125}{3}\pi\)
4.
一圓周上有10個等分點，從這10個等分點中，選擇4個等分點為頂點構成一個四邊形，則此四邊形為梯形的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{8}{21}\) (B)\(\displaystyle \frac{4}{21}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{7}\)
已知一圓周上有12個等分點，從這12個等分點中，任意選4個等分點作為頂點構成一個四邊形，試問此四邊形為梯形的機率為何？
(1)\(\displaystyle \frac{21}{55}\) (2)\(\displaystyle \frac{56}{165}\) (3)\(\displaystyle \frac{14}{55}\) (4)\(\displaystyle \frac{8}{33}\) (5)\(\displaystyle \frac{12}{55}\)
http://mail2.cjhs.kh.edu.tw/Phys ... AD%B8%E7%A7%911.pdf
10.
職棒明星賽採5戰3勝制，當參賽紅、白兩隊中有一隊贏得3場比賽時，就由該隊獲勝而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設紅隊在任一場贏球的機率為定值\(p\)，以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值\((0\le p \le 1)\)，請選出正確的選項：
(A)\(f(p)\)的常數項等於3
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(D)若紅、白兩隊實力旗鼓相當，則最後比5場結束的機率大於比4場結束的機率
職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值\(p\)，以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值(其中\(0\le p \le 1\))，請選出正確的選項：
(A)只須比賽 3 場就產生晉級球隊的機率為\(p^3+(1-p)^3\)
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)\(f(p)\)的常數項等於3
(D)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(E)\(\displaystyle f(\frac{1}{4})<f(\frac{4}{5})\)
(103指考數甲)
111.3.20補充
甲乙兩人舉行五戰三勝的比賽(任一人先勝三局比賽就結束)。每一局比賽必有勝負，其中甲勝的機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，乙勝的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。問比賽結束時，乙獲勝場次的期望值為
。
(110高中數學能力競賽北二區筆試二，
https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)
7.
小明在森林中迷了路，若繼續往前走則經過5分鐘後會回到原地，若返回走則有一半的機會於5分鐘後回到原地，另一半的機會於10分鐘後走出森林；假設小明向前走的機率為0.6，問小明能夠走出森林所花費的期望值為？
(A)25 (B)30 (C)40 (D)45 分鐘
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475
填充題
2.
設\(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\)，\(g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根，試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值
。
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(高雄女中雙週一題，96師大附中，98中崙高中，
https://math.pro/db/thread-807-1-1.html)
3.
曲線\(y=-x^2+2x\)與直線\(x+y=0\)圍成封閉區域\(\Gamma\)，求\(\Gamma\)繞\(x\)軸旋轉所成的旋轉體體積=
。
求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為
。
(100桃園高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652)
4.
已知\(n\in N\)，且\(n<\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\ldots}}}}}}<n+1\)，則\(n=\)
。
http://www.mathchina.net/dvbbs/d ... Id=12561&page=7
設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數，例如：\( [\; 3 ]\;=3 \)，\( [\; 2.3 ]\;=2 \)，\( [\; -2.5 ]\;=-3 \)，則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期，
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)
證明\(1<\sqrt{2+\root 3 \of{3+\root 4 \of{4+\ldots+\root 1120 \of{1120}}}}<2\)
(104高中數學能力競賽 南區(高雄區)筆試一試題，
https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)
5.
已知\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五人各有一頂不同之帽子﹐除\(A\)外另四人皆記得自己的帽子；重新混合後，依序由\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)去取回一頂帽子。\(A\)任取一頂帽子，另四人若自己的帽子已被取走方可任取其餘帽子中之一頂，則五人取帽子之方法共有
種。
(104台中一中期中考，
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/tcfsh/T104122.pdf)
6.
設有5個二維數據，其統計資料如下：\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i=10\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 y_i=400\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i^2=30\)如果小小兵求\(y\)對\(x\)的迴歸直線方程式時，不慎將斜率公式誤植為\(\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)(y_i+\mu_y)}{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)^2}\)求得斜率\(\displaystyle \frac{311}{9}\)，其餘計算沒有錯誤，則正確的迴歸直線方程式應為
。
(104台中一中期中考，
http://acad.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/experiment/PreviousExams)
計算證明題
2.
設\((1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+\ldots+a_{2n}x^{2n}\)，其中\(a_0,a_1,\ldots\)為係數。證\(a_0+a_3+a_6+\ldots=a_1+a_4+a_7+\ldots=a_2+a_5+a_8+\ldots=3^{n-1}\)
(95台灣大學學士班甄選入學，
http://www.math.ntu.edu.tw/sites ... /exams/h_app_95.pdf)
