計算第2題
若兩容器甲、乙分別裝有濃度為\( 25% \)與\( 10% \)的糖水各1公升(兩容器皆半滿)，今從甲容器倒出\( \displaystyle \frac{1}{4} \)的糖水到乙容器搖勻後，再從乙容器倒出\( \displaystyle \frac{1}{4} \)的糖水回到甲容器，如此繼續重複操作下去。試問：至少需操作幾次後，甲、乙兩容器中的糖水濃度差小於\( 0.001% \)？

題目是否應修正如下？
……，今從甲容器倒出\(\displaystyle \frac{1}{4}\)公升的糖水到乙容器搖勻後，再從乙容器倒出\(\displaystyle \frac{1}{4}\)公升的糖水回到甲容器，……

多選 2
已知\(f(x)\)為多項式函數，若函數\(f'(x)\)的圖形為通過\(A(1,0)\)與\(B(2,0)\)兩點且開口向下的拋物線，試問下列哪些選項是正確的？
(A)\(f(x)\)在\(1<x<2\)的範圍內為遞增函數
(B)若\(L\)為以\((3,f(3))\)為切點的切線，則\(L\)的斜率為正
(C)方程式\(f(x)=0\)有三個實根
(D)\(f(x)\)在\(x=1\)處有極大值
(E)\(f(x)\)在區間\((2,\infty)\)的圖形是凹口向下
[選項(E)解答]
\(f'(x) = a(x - 1)(x - 2)\)，\(a < 0\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}ax^3 - \frac{3}{2}ax^2 + 2ax + C\)
\(x^3 \)項的係數為負，畫圖可知\( f(1) \)是極小值，\(f(2)\)是極大值
故 (E) 選項正確

多選 3
已知\(f(x)\)是三次實係數多項式，且\(f(11)=2012\)，\(f(21)=-2013\)，\(f(31)=2014\)，設\(\displaystyle g(x)=\frac{(x-21)(x-31)}{(11-21)(11-31)}\cdot 2012+\frac{(x-11)(x-31)}{(21-11)(21-31)}\cdot (-2013)+\frac{(x-11)(x-21)}{(31-11)(31-21)}\cdot 2014\)且\(r(x)\)為\(f(x)\)除以\((x-11)(x-21)(x-31)\)之餘式，試問下列哪些選項是正確的？
(A)\(r(11)=2012\)
(B)\(g(41)=-2015\)
(C)方程式\(f(x)=0\)恰有3個相異實根
(D)方程式\(f(x)-g(x)=0\)恰有3個相異實根
(E)方程式\(r(x)=0\)恰有2個相異實根
https://math.pro/db/thread-2323-1-1.html

依您的做法，題目要修正為以下：

今從甲容器倒出\(\frac{1}{4}\)公升的糖水到乙容器搖勻後，再從乙容器倒出\(\frac{1}{4}\)公升的糖水回到甲容器

而最後的\({{a}_{n}}-{{b}_{n}}=\frac{9}{100}\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n-1}}\)

至於原題，小弟用電腦算了一下是17次

指點倒是不敢，小弟是這樣算的
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}=\frac{4}{5}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{5}{{b}_{n-1}} \\
& {{b}_{n}}=\frac{1}{5}{{a}_{n-1}}+\frac{4}{5}{{b}_{n-1}} \\
& {{a}_{n}}-{{b}_{n}}=\frac{3}{5}\left( {{a}_{n-1}}-{{b}_{n-1}} \right) \\
&  \\
& {{a}_{0}}-{{b}_{0}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{10}=\frac{3}{20} \\
& {{a}_{1}}-{{b}_{1}}=\frac{3}{5}\times \frac{3}{20} \\
& : \\
& : \\
& {{a}_{n}}-{{b}_{n}}=\frac{3}{20}\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n}} \\
\end{align}\)

您的算式中
\(\left[ \begin{matrix}
   {{a}_{n}}  \\
   {{b}_{n}}  \\
\end{matrix} \right]={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{n-1}}{{\left[ \begin{matrix}
   4 & 1  \\
   1 & 4  \\
\end{matrix} \right]}^{n-1}}\left[ \begin{matrix}
   {{a}_{0}}  \\
   {{b}_{0}}  \\
\end{matrix} \right]\)應修正為\(\left[ \begin{matrix}
   {{a}_{n}}  \\
   {{b}_{n}}  \\
\end{matrix} \right]={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{n}}{{\left[ \begin{matrix}
   4 & 1  \\
   1 & 4  \\
\end{matrix} \right]}^{n}}\left[ \begin{matrix}
   {{a}_{0}}  \\
   {{b}_{0}}  \\
\end{matrix} \right]\)
這樣的話，答案是19次