\( \displaystyle a^2+ab+\frac{b^2}{ab-1}\)為正整數\(k\)
且\(a\)、\(b\)為正整數。
求\(k=\)?
答案是:4、7

看到題目時，聯想到這題:
https://math.pro/db/thread-1955-1-2.html
依照 http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping 的方法，試著"東施效顰"一下:

1. 若 a = b，則 k = 4


2.  若 a ≠ b，不失一般性令 a > b:


2-1 當 b = 1 或 2，則 k = 4 或 7，不贅。


2-2 當 b ≥ 3，k = (a² + ab + b²) / (ab - 1) < (2a² + ab) / (ab - 1)  ≤ a (因 2a + b  ≤ ab - 1)......(#)


原式 (a² + ab + b²) / (ab - 1) = k 重新整理得:


a² - b(k - 1) a + (b² + k) = 0


亦即 a 是方程式 x² - b(k - 1) x + (b² + k) = 0 之一根，設另一根為 γ，則


γ = b(k - 1) - a = (b² + k) / a


由這兩個 "=" 分別可知 γ 是整數與 γ > 0，即 γ 是正整數; 且


γ = (b² + k) / a < (b² + a) / a (依據 #) < b + 1


即 a > b ≥ γ


2-2.1 若 b = γ ，則得上文 1. 之情形


2-2.2 若 b > γ ≥ 3，以下用 ( b , γ ) 代替 ( a , b ) 重複 2-2 之過程，以下類推，直到兩根相等(上文 1. 之情形)，或較小根 = 1 或 2 (上文 2-1 之情形) 為止。由於過程中 k 值保持不變，故得 k = 4 或 7。

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2017-8-19 11:50