計算5. 應該說清楚是此線段所產生的軌跡圖形 (說明上不需要 x,y 軸)

計算 5. 算出來是曲線 \( \sqrt{x} + \sqrt{y} =1 \) 和坐標軸圍成的區域

鋼琴兄應該是不小心記錯了，星形線是長度固定為 1 的時候

這題是截距和為 1，圖形如下

103TaipeiFirstgirl.gif (949.3 KB)

2014-4-18 17:27

是拋物線沒錯，Ellipse 兄太厲害了

我是用了微分找固定 \( x \)，軌跡中 \( y \) 的最大值，一言以蔽之就是暴力找出邊界曲線的函數

令 \( y = (1-t)(1-\frac{x}{t}) \)，則 \( \displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{x-t^{2}}{t^{2}} \)

判別零點和正負，可知在 \( 0 < t < 1 \), 固定 \( x \) 滿足 \( 0\leq x\leq 1\) 的條件下，\( t = \sqrt{x} \)，\( y \) 有最大值 \( (1-\sqrt{x})^2 \)

計算積分 \( \displaystyle \int_0^1 1-\sqrt{x})^2 dx = \frac16 \)

計算 4. (1) 考過不知凡幾  https://math.pro/db/thread-499-1-4.html
98彰化女中、99建國高中、100台中二中、100玉井工商

(2) 有耐心分類一下其實不難，沒耐心的話，排組的題目以後乾脆繞著走算了

AOOOBOOOOC，ABC: \( 3! \)

前三： OOO 隨便數，5 種

後四：OOOO，依 B 出現的位置分類，以 X 表示非 B 有 BXBCAC、BXXBAC、BXXXBC、BXBXBC、BCACAC，
其中的部分位置在 B 決定後，就會唯一決定，如 BXBXXC 必為 BXBACA。因此 OOOO 有 \( 2+2+2+2^2+1 =11 \)

故所求 \( = 3! \times 5 \times 11 = 330 \)

填充 1. 你的記號中，\( \angle AOB = |a -b| \)
故 \( \sin \angle AOB = 2 \cdot \frac5{13} \cdot \frac{12}{13} \)

故面積為 \( \frac12 \times 1 \times 1 \times \frac{120}{169} = \frac{60}{169} \)