計算第一題:
算出det(A)=0, det(B)=-21 不為0
故A不可逆，B可逆，
故若存在方陣Y使得BY=0 的話，兩邊同乘以 B^-1 ，得到 Y=0
所以不存在非零方陣Y使得 BY=0
(線代的觀念裡面 矩陣 A 可逆的充要條件有一條 是 AX=b中有唯一解 ，或是AX=0 只有零解
雖說定理的 X,b 是向量，但是觀念依樣)

因為A不可逆，所以AX=0 的解應不唯一，取方陣 X 使得X 的每一行元素依序為 -1 2 -3 ，則 AX=0

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-27 08:41 PM 發表

填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+....... ...

填充5這做法真漂亮，怎麼樣想才能想到要把它補成整數 ?
每每遇到高斯的題目幾乎都有不知如何下手的感覺，
用不等式夾了老半天，顯然失敗囧.....

計算第三題:
(1) P1=2/7, P2=12/49
(2) 令前n 次的和 為 4k+1的 "情形" 有 a(n) 種， 4k+2 有 b(n) 種 ，4k+3 有 c(n) 種, 4k 有 d(n) 種
     則 a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=7^n, 又觀察知 a(n+1) = a(n) + 2b(n) +2c(n) +2d(n) =a(n) + 2(7^n -a(n))
     兩邊同除以 7^(n+1), 得到 P(n+1)= -1/7 P(n) +2/7
(3) 解出 P(n)=(1/4)+(1/28)(-1/7)^(n-1)

有錯誤煩請指正

計算第4題：
試求有多少個相異的多項式\( f(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7 \)同時滿足下列2個條件：
(1)\( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \)為集合\( \{\; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \)中七個相異元素。
(2)\( f(x) \)可被\( x^3+x^2+x+1 \)整除。

我是用討論作，不知道有沒有妙招，也請大家幫小弟驗算一下，
首先觀察x^3+x^2+x+1=0的三虛根令為w, w^2, w^3,
又f(w)=0, 代入降次之後得到關係式 1+a4=a1+a5=a2+a6=a3+a7
（f(w^2)=0, f(w^3)=0 取交集後亦為此關係式）
再針對a4的值作討論：
(1)  若a4=10, 則 a1+a5=a2+a6=a3+a7=11,  所以(a1,a5), (a2,a6), (a3,a7)
      可能的情況為 (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) , 此情形有 4*3*2*2^3=192
(2)  若a4=9,   可能的情況為 (2,8), (3,7), (4,6),  有 3*2*1*2^3=48
(3)  若a4=8,   可能的情況為 (2,7), (3,6), (4,5),  有 3*2*1*2^3=48
a4=7,6, 5,4,3,2,1 均無解
故所求共 288 組

觀念如有錯也煩請指正。
感謝 zeratulok 兄的提醒，多算的部分已修正。


104.4.12補充
設多項式\( f(x)=x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \)，其中\( a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \)是集合\( \{\; 1,2,3,4,\ldots,10 \}\; \)中的七個相異元素，若\( x^3+x^2+x+1 \)是多項式\( f(x) \)的因式，試問有　　　個滿足條件的多項式\( f(x) \)。
(104台中女中，https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)

引用:

原帖由 zeratulok 於 2012-5-28 03:57 PM 發表
好像有點問題....
a4=9的時候應該只剩下(2,8)、(3,7)、(4,6)三組可以湊出10..
所以應該是3!*2^3
a4=8，剩下(2,7)、(3,6)、(4,5)
所以也是3!*2^3
a4=7，就可能是(2,6)、(3,5)而已，所以不可能了，以下都不行
還是我理解錯誤   ...

你說的沒錯，的確是我眼殘沒發現，多謝指教，待會馬上修正。