例 求 \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] + \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \) 的值? 其中\(\left[ a \right]\)表示不超過\(a\)的最大整數
解
(1) 先求\(\displaystyle 1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^{100}} = {2^{101}} - 1\)
(2) \(\displaystyle \frac{{1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^{100}}}}{3} = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}} - 1} \right)\)
(3) \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] + \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \)
因為取了高斯函數後，都是整數相加，求和的值會變小
第一項 扣 \(\frac{1}{3}\) ，第二項 扣 \(\frac{2}{3}\) ，第三項 扣 \(\frac{1}{3}\)
第四項 扣 \(\frac{2}{3}\) ................
由此規律加上同餘理論 奇數項 扣 \(\frac{1}{3}\)
偶數項 扣 \(\frac{2}{3}\)
奇數項共51項，偶數項共50項
\(\displaystyle \frac{1}{3} \times 51 + \frac{2}{3} \times 50 = \frac{{151}}{3}\)
(4) \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] + \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}}} \right) - \frac{1}{3} - \frac{{151}}{3} = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}} - 152} \right)\)
112.1.6補充
求\(\displaystyle \left[\frac{1}{3} \right]+\left[\frac{2}{3} \right]+\left[\frac{2^2}{3} \right]+\ldots+\left[\frac{2^{100}}{3} \right]\)之值，其中\(\left[a\right]\)表示不超過\(a\)的最大整數。
(109高雄市高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3338&page=1#pid21314)
設\([\;x ]\;\)表示不超過\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2^1}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2024}}{3}\right]\)的末兩位數為
。
(112基隆女中第二次，
https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html)
