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標題: 99桃園縣新進教師高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-6-5 19:23 標題: 99桃園縣新進教師高中聯招

題目和答案請見附件

附件: 99桃園縣新進教師高中聯招.rar (2010-6-5 19:23, 55.63 KB) / 該附件被下載次數 10179
https://math.pro/db/attachment.php?aid=206&k=d365992283286193edbf2eb2a17ee184&t=1715207469

作者: bugmens 時間: 2010-6-5 19:29

選擇題
5.設\( \{ a_n \} \)為一數列，\( a_1=a_2=1 \)，\( a_3=a_4=2 \)，對任意正整數n，滿足\( a_{n} \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3}\not\equiv 1 \)且\( a_n \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3} \cdot a_{n+4}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4} \)，則\( a_1+a_2+...+a_{200}= \)？
(A)320　(B)360　(C)400　(D)440　(E)480
[提示]
五個一循環1，1，2，2，2

8.\( \sqrt{n}+\sqrt{m}=\sqrt{2527} \)，\( n>m>0 \)，則\( (n,m) \)有幾組正整數解。
(A)2　(B)3　(C)5　(D)7　(E)9

已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)且\( 0<x<y \)，求滿足此式的整數數對\( (x,y) \)有幾組？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3　組。
(92台南縣國中聯招，初中數學競賽教程P32)
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13842

非選擇題
三、照相機三角架的三隻腳架長度皆為75cm，三隻腳架和地面接觸點為A，B，C，已知\( \overline{AB}=50cm \)，\( \overline{BC}=40cm \)，\( \overline{CA}=30cm \)，求三角架頂點至地面的最短距離為多少cm？

有一個三角架，三隻腳的長度都是150，三隻腳的著地點為A，B，C且\( \overline{AB}=70 \)，\( \overline{BC}=80 \)，\( \overline{CA}=90 \)，則腳架頂端P離地面的高度為？
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA503.swf

作者: jisam 時間: 2010-6-5 21:40

請問單選第4題應該如何算
我算是2/9.......居然沒有這選項應該算錯了....
s=1/12*1/6  /  (1-27/36)=1/18
ans=1/18  /  (1-27/36)=2*9

非選擇題三  可視為求三角錐的高
但改成70 80 90 不知改怎麼算
請問各位老師可以給點提示嗎謝謝

[ 本帖最後由 jisam 於 2010-6-5 09:50 PM 編輯 ]

作者: hb13256 時間: 2010-6-5 22:07

4.看不懂題義XD

abc/4R ＝三角形面積
可求出外接圓半經R＝21√5

作者: iamcfg 時間: 2010-6-6 22:46

單選四
投擲兩個6面的公正骰子,求其點數和為4會出現在點數和為7之前的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
丟出點數和 4點的機率 \(\displaystyle \frac{3}{36}\)  7點的機率  \(\displaystyle \frac{6}{36}\)
題目要4點比7點早出現  所以說  如果只擲一次  就是第一次就4點
如果擲兩次  第一次一定不是4或7 這樣的機率是  \(\displaystyle 1- \frac{3}{36}-\frac{6}{36}=\frac{27}{36} \)  第二次一定是4點
所以機率變成  \(\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}*\frac{3}{4}+\frac{1}{6}*\left( \frac{3}{4} \right)^2+...\)  無窮等比級數

113.5.1補充
同時擲兩粒公正骰子，求點數和為 5 比點數和為 7 先出現的機率為何？　　　
(113新竹高中，https://math.pro/db/thread-3856-1-1.html)

非選3  他會是外心正上方去算

作者: johncai 時間: 2010-6-7 14:44

可以請問一下非選一二題怎麼算嗎?
謝謝

非選四我先把y作標左移一單位，B點再旋轉(順逆各一解)30度得D點，
再用對角線互相平分性質得C點，最後x作標再減1即答案(兩解)，
不知道有沒有更好的方法?
@答案打不出來

作者: milkie1013 時間: 2010-6-7 16:47

引用:

原帖由 johncai 於 2010-6-7 02:44 PM 發表
可以請問一下非選一二題怎麼算嗎?
謝謝

非選四我先把y作標左移一單位，B點再旋轉(順逆各一解)30度得D點，
再用對角線互相平分性質得C點，最後x作標再減1即答案(兩解)，
不知道有沒有更好的方法?
@答案打不出來 ...

AB向量旋轉150度再加B點座標

作者: Jacob 時間: 2010-6-7 22:53 標題: 可以請問一下，選擇題2、6、7，與非選一二題怎麼算嗎? 謝謝

作者: iamcfg 時間: 2010-6-9 16:10

選擇7直接列因為A拿多少不重要  直接考慮B拿到的牌
所以說考慮B可拿到的最大牌
最大8的情況  剩下 1,2,3,4
最大7 可以是 1,2,3,4    1,2,3,5
   6 可以是 1,2,3,4    1,2,3,5  1,2,4,5
所以機率  \(\displaystyle{\frac {7}{C^{10}_{5}}}=0.028\)

[ 本帖最後由 iamcfg 於 2010-6-9 05:18 PM 編輯 ]

作者: iamcfg 時間: 2010-6-9 17:23 標題: 回復 8# Jacob 的帖子

選擇6
\(\displaystyle f'(x)-g'(x)>0\)
表示\(\displaystyle f(x)-g(x)\)是嚴格遞增函數
那嚴格遞增函數最多有一個根

選擇2 直接參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1522

[ 本帖最後由 iamcfg 於 2010-6-9 05:26 PM 編輯 ]

作者: Jacob 時間: 2010-6-10 01:11

謝謝 iamcfg 的解說。

作者: hostess 時間: 2010-6-16 17:45 標題: 回復 5# iamcfg 的帖子

不好意思您單選4的解法應該錯誤了！
　　　　　３　　　　２７　　３　　　　　２７　　２７　　　３　　　　　　　　　　１
應該是　────　＋　────ｘ────　＋　────ｘ────ｘ────　＋　‧‧‧　＝　───
　　　　３６　　　３６　　３６　　　　３６　　３６　　３６　　　　　　　　　　３

作者: Ellipse 時間: 2010-7-10 19:09

請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
各位老師看法如何?

作者: kittyyaya 時間: 2010-8-30 08:55

想請問多選題13的(A)和(D)給5點不就給5個方程式,可以解5個未知數,為何不是唯一解
(B)為何是唯一解
(E)只給2個條件,為何是唯一解,不是還有開口大小嗎?
還有非選擇題A部分第一題答案是否為C>D>B>A和第二題不會,謝謝

作者: weiye 時間: 2010-8-30 19:47

第 13 題：

(A)　令 \(H(x)=f(x)-x\) ，則

　　因為 \(f(x)\) 為四次式，所以 \(H(x)\) 亦為四次式

　　因為 \(H(0)=H(1)=H(-1)=H(2)=H(-2)=0\)

　　由因式定理，可得 \(H(x)\) 有因式 \(x, (x-1), (x+1), (x-2), (x+2)\)

　　顯然與 \(H(x)\) 為四次式相矛盾。

(B) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\)，

　　由 \(f(1)=0, f(-1)=2,f'(1)=1,f'(-1)=-1\)，

　　可解得 \(\displaystyle b=\frac{1}{2}, c=\frac{-3}{2},d=\frac{-3}{2}, e=\frac{3}{2}\)

　　（如果不想解最後的聯立方程式，就檢查克拉馬公式的的 Δ 是否非零。）

(C) \(f(x)=x^4+x^2+1\)

(D) 四個未知數，卻有五個方程式，有可能會過猶不及，

　　前四個方程式解出來的，帶入第五個方程式卻矛盾，

　　是又不想真的去解那五個方程式，

　　所以以下就借用一下 iamcfg 在 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2477 的方法，

　　

　　最後一個數不是 \(4!\)，很好～此四次方程式的首項係數不會是 \(1\)。

(E) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\)，

　　由 \(\displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0\)，

　　可解得 \(\displaystyle b=0, c=-1,d=0, e=\frac{1}{4}.\)

作者: bugmens 時間: 2010-8-30 20:02

提供(D)選項的解法
令\( g(x)=(x+1)f(x)-1 \)，且\( g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=0 \)
令\( g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=(x+1)f(x)-1 \)
得\( \displaystyle f(x)=\frac{k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1}{x+1} \)
但\( f(x) \)為四次多項式，所以\( x+1 \)要能整除\( k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1 \)
\( k(-1-1)(-1-2)(-1-3)(-1-4)(-1-5)+1=0 \)，\( \displaystyle k=\frac{1}{720} \)
最高係數應為\( \displaystyle \frac{1}{720} \)

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-1 14:31

感謝瑋岳老師和 bugmens老師,看見板上兩位老師和其他老師的功力如此強,教書十多年的我真的需要好好練練題目和思考數學,另外,iamcfg老師寫在99大安高工的內容,我上去查過,也試算過,還是看不出來,可否幫忙在解釋一下f(x+h)-f(x)的意義,另外,非選擇題的第一部分相關系數大小是否為C>D>B>A
第二題我已有查到網路上的解釋,謝謝

作者: weiye 時間: 2010-9-1 19:22 標題: 回復 17# kittyyaya 的帖子

若 \(\displaystyle f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，則

\(\displaystyle f(x+1)-f(x)=\left(a_n\left(x+1\right)^n+a_{n-1}\left(x+1\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(x+1\right)+a_0\right) - \left(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\right)\)

　　　\(\displaystyle =a_n\left(\left(x+1\right)^n-x^n\right)+a_{n-1}\left(\left(x+1\right)^{n-1}-x^{n-1}\right)+\cdots+a_1\left(\left(x+1\right)-x\right)\)

（請自行把 \((x+1)^n, (x+1)^{n-1} \cdots\) 用二項式定理展開）

　　　\(\displaystyle =a_n\left(nx^{n-1}+\cdots\right)+a_{n-1}\left(\left(n-1\right)x^{n-2}\cdots\right)+\cdots\)

　　　\(\displaystyle =n\cdot a_nx^{n-1}+\cdots\)

可以發現 \(f(x+1)-f(x)\) 次方數會減一，且首項係數會多乘上 \(n\)（蝦咪～跟微分很像～嗯～）

所以，若 \(f(x)\) 是四次式，做了 \(4\) 階的差分之後，

會變成常數，且該常數是 \(f(x)\) 的首項係數乘上 \(4!\)。

相關係數那題可能要等待統計達人囉～：Ｐ

我是"覺得"

A > B≒D（ B 與 D 似是經 \(x,y\) 軸伸縮變換可互換）

且

C > B≒D

至於 A 與 C，

不知誰大...

難道要真找一堆數據來算看看？

等待統計達人囉～：Ｐ

作者: mandy 時間: 2011-4-17 17:46

請問非選第二題 : 求實數a的範圍怎麼做?

作者: Ellipse 時間: 2011-5-4 23:41

請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
有沒有那位板大比較確定答案?

作者: iamcfg 時間: 2011-5-6 23:49 標題: 回復 19# mandy 的帖子

要有反函數  本身一定是個1-1函數
所以當a=0  必有反函數
若\(a>0\)或\(a<0\)  拿去微分  一定是遞增或遞減

所以最後的結果是 \(a>=0\)

[ 本帖最後由 iamcfg 於 2011-5-6 11:53 PM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2011-6-23 15:15 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

選擇第一題
由 thepiano 發表於 2010年 6月 15日, 12:59
第 1 題
logf(x) = (4 - logx)logx = -(logx)^2 + 4logx
f(x) = 10^[-(logx)^2 + 4logx] = 10^[-(logx - 2)^2 + 4]
易知
x = 100，logx = 2 時，f(x) 有最大值 10^4
x = 1 or 10000，logx = 0 or 4 時，f(x) 有最小值 1
c+d=10000+1=10001..........選(B)

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-6-23 03:29 PM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2011-6-23 17:27 標題: 回復 22# nanpolend 的帖子

選擇第二題
由 thepiano 發表於 2010年 6月 8日, 13:27
易知 a ≠ b
由於對稱，先設 a ＞ b
(3b - 1) / a ＜ (3a - 1) / a = 3 - 1/a ＜ 3
故(3b - 1) / a = 1 or (3b - 1) / a = 2
(1) 3b - 1 = a
(3a - 1) / b = (9b - 4) / b = 9 - 4/b 為整數
b = 4，a = 11(因為a,b都大於2)
(2) 3b - 1 = 2a
(3a - 1) / b = (9b/2 - 5/2) / b = (9b - 5) / (2b) = 4 + [(b - 5) / (2b)] 為整數
b = 5，a = 7(因為a,b都大於2)
由於對稱 a=4,5,7,11
所求 = 4 + 5 + 7 + 11=27.............. 選(E)

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-6-23 05:45 PM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2011-6-23 19:48 標題: 回復 23# nanpolend 的帖子

選擇第 3 題
由 thepiano 發表於 2010年 6月 8日, 13:27
運用一元3次的根與係數關係
令x^3 + 3x^2 + px - q = 0 之三根為 a - d，a，a + d
x^3 + (1 - p)x^2 - (1 + q)x - 8 = 0 之三根為 b/r，b，br
a - d + a + a + d = -3
a = -1
p = 3 - d^2，q = d^2 - 1
p + q = 2..........(1)
b/r * b * br = 8
b = 2
p - 1 = 2/r + 2 + 2r
-(1 + q) = 4/r + 4r + 4 = 2(p - 1)
2p + q = 1........(2)
解(1)(2)得 p = -1，q = 3
p^2+q^2=10.........(A)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-23 20:19 標題: 回復 24# nanpolend 的帖子

選擇第 4 題
4點機率:3/36=1/12
7點機率:6/36=1/6
非4點非七點機率:1-1/12-1/6=3/4
第一次出4點+第二次出4點+第三次出4點+........
1/12+1/12*3/4+1/12(3/4)^2+........
無窮等比級數=1/12/(1-3/4)=1/3.........(B)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-23 21:56 標題: 回復 25# nanpolend 的帖子

選擇第 5題
a5=2,a6=1.......
代入可得1,1,2,2,2,1,1,2,2,2.....五循環
(1+1+2+2+2)*200/5=320...........(A)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-24 10:35 標題: 回復 26# nanpolend 的帖子

選擇第 7題
樣本空間=C(10,5)=252
組合數=和18+和17+和16+和15
由小排到大的組合數(逐次+1)
和15:1,2.3,4,5
和16:1,2,3,5,6
和17:1,2,3,5,6
      1,2,3,4,7
和18:1,2,4,5,6
      1,2,3,5,7
      1,2,3,4,8
共7組
機率=7/252=0.028(四捨五入).............(A)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-24 10:54 標題: 回復 27# nanpolend 的帖子

選擇第8題
√ 2527=19 √ 7
√n + √ m= √ 19 √ 7
依序解為18 √ 7+ √ 7
            17 √ 7+ 2√ 7
               ........
               10 √ 7+ 9√ 7 共9組..................(E)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-24 12:20 標題: 回復 28# nanpolend 的帖子

選擇第9題
其中一個為真共有四種可能性
甲 T 乙 F 丙 F 丁 F ×
甲 F 乙 T 丙 F 丁 F ×
甲 F 乙 F 丙 T 丁 F ×
甲 F 乙 F 丙F 丁 T ○
乙做的.............(B)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-25 03:12 標題: 回復 29# nanpolend 的帖子

選擇第10題
3R7B
取後放回和取後不放回期望值應該一樣
以下為推導
取後放回
3/10*3=9/10
取後不放回
一個(3/10*7/9*6*/8*3)*1
二個(3/10*2/9*7/8*3)*2
三個(3/10*2/9*1/8)*3
共9/10
結果一樣選...................(A)(B)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-25 12:25 標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

選擇第11題
代入找遞回關係
a0 = -1
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 8
a4 = 13
an+1 = an + (n+2)
相加對消得 an=(n^2+3n-2)/2
將數值代入即得.......................(A)(C)(D)(E)

附件: 遞迴.pdf (2011-6-25 12:25, 443.31 KB) / 該附件被下載次數 6425
https://math.pro/db/attachment.php?aid=586&k=ae5521bbaf5df564ea4e6288039e5a2c&t=1715207469

作者: nanpolend 時間: 2011-6-25 12:39 標題: 回復 31# nanpolend 的帖子

選擇第12題
矩陣沒交換性
轉置矩陣性質選錯誤(A)(B)(D)(E)

作者: nanpolend 時間: 2011-6-27 03:44 標題: 回復 32# nanpolend 的帖子

非選第四題
轉貼昌爸 o 回覆於: 2011/6/27 上午 02:20:58

圖片附件: 03a.png (2011-6-27 03:44, 72.63 KB) / 該附件被下載次數 5040
https://math.pro/db/attachment.php?aid=592&k=0c69814e1590cbe83cd6481b416f2368&t=1715207469

作者: nanpolend 時間: 2011-6-27 10:46 標題: 回復 33# nanpolend 的帖子

非選第三題(感謝waiye老師題示)
三角形公式
三角形面積=abc/4R(面積以海龍公式求出)
R=25
以三角形的外接圓心往上拉皆垂直ABC平面
能有立體圖形更好理解
頂點到A,B,C皆等長
三角錐的高=√(75^2-25^2)=50√2

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-6-27 10:52 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2011-11-14 21:41 標題: 回復 17# kittyyaya 的帖子

一兩個月前，被問到非選的第一題，某人和我說，這題是他的殘念，之前一直都沒做出來

就認真的算了一下…

方法1：首先平移使中心為原點，新資料關係”幾乎”是 \( y_{i}^{\pm}=x_{i}^{\pm}\pm d, x_{i}^{\pm}=x_{i}, \bar{x}=\bar{y}=0\).

\( r=\frac{\sum y_{i}^{\pm}x_{i}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{\sum(x_{i}\pm d)^{2}}}=\frac{2\sum_{i}x_{i}^{2}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}+Nd^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{Nd^{2}}{2\sum_{i}x_{i}^{2}}}} \)

也就是 \( \frac{\sum_{i}x_{i}^{2}}{N} \) 愈大 \( r \) 愈大。

也就是 \( x \) 變異係數愈大，\( r \) 愈大。所以 \( C>A>B \) 是沒有問題的。

而 \( D \) 和 \( A \) 則大概是 \( \frac{\sum_{k=1}^{2n}k^{2}}{2n} \) 和 \( \frac{\sum_{k=1}^{n}(2k)^{2}}{n} \) 在比，所以是半斤八兩。

所以 \( C>A\approx D>B \)。

方法2：假設中間那條是迴歸線，去算迴歸線和資料的最小方差可以得到 \( 1-r^{2} \) 正比最小方差。

當然裡面還有一些參數。但是這樣做的好處是，因為資料接近線性關係，所以 \( r^{2} \) 接近 \( 1 \)，而 \( 1-r^{2} \) 接近 \( 0 \)。

所以 \( r \) 只要有些微變動，新舊 \( r \) 的比值接近 \( 1 \)，但 \( 1-r^{2} \) 的就不是了…

有興趣的人，可以用方法 2，驗證一下是不是一樣的結果…

方法2，是之前想的，很不直覺，有點久了，不知道算出來一不一樣？

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-20 08:33 PM 編輯 ]

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