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標題: 107新竹女中代理 [打印本頁]

作者: lulu25 時間: 2018-7-2 12:53 標題: 107新竹女中代理

想請教填充第10題

這三個角度的關係串不太起來
做了許多輔助線也不行QQ

希望前輩指點謝謝大家！～

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作者: koeagle 時間: 2018-7-2 17:59 標題: 回復 1# lulu25 的帖子

填充10，利用正弦定理。(不過感覺有更好的做法)

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作者: thepiano 時間: 2018-7-2 21:32 標題: 回復 1# lulu25 的帖子

第10題
平面上\(\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠CAD=\alpha\)，\(∠CBD=\beta\)，\(∠CAB=\gamma\)，若\(\displaystyle cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\displaystyle cos\beta=\frac{8}{17}\)，則\(tan\gamma=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & \cos \gamma =\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}-\beta -\left( \gamma -\alpha  \right) \right)}{\sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta  \right)}=\frac{\cos \left( \alpha -\beta -\gamma  \right)}{\cos \beta } \\
& \frac{8}{17}\cos \gamma =\cos \left( \alpha -\beta -\gamma  \right) \\
& =\cos \left( \alpha -\beta  \right)\cos \gamma +\sin \left( \alpha -\beta  \right)\sin \gamma  \\
& =\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta  \right)\cos \gamma +\left( \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta  \right)\sin \gamma  \\
& =\left( \frac{4}{5}\times \frac{8}{17}+\frac{3}{5}\times \frac{15}{17} \right)\cos \gamma +\left( \frac{3}{5}\times \frac{8}{17}-\frac{4}{5}\times \frac{15}{17} \right)\sin \gamma  \\
& 37\cos \gamma =36\sin \gamma  \\
& \tan \gamma =\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }=\frac{37}{36} \\
\end{align}\)

110.5.3補充
在\(xy\)平面上\(\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠CAD=\alpha\)，\(∠CBD=\beta\)，\(∠CAB=\gamma\)，若\(\displaystyle sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\displaystyle cos\beta=\frac{5}{13}\)，則\(tan\gamma=\)　　　。
(110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)

作者: lulu25 時間: 2018-7-3 00:46

感謝兩位～受益良多！

作者: laylay 時間: 2018-7-3 14:37 標題: 回覆1#

填充10.

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作者: g112 時間: 2018-7-3 23:15

想請問填充3和7,謝謝

作者: laylay 時間: 2018-7-4 05:23 標題: 回復 6# g112 的帖子

填充3:按照題意A6可往右上走，也可往左下走，
A7可往右走，也可往左走，所以無法計算。
採用向量的無窮等比級數公式計算即可。

作者: laylay 時間: 2018-7-4 06:15 標題: 回覆6#

填充7.

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作者: g112 時間: 2018-7-4 15:21

引用:

原帖由 laylay 於 2018-7-4 06:15 發表
填充7.

第7題ok了但第3題還是不行，能否請老師再講詳細一點，謝謝

作者: koeagle 時間: 2018-7-4 16:04 標題: 回復 9# g112 的帖子

填充3.
如下圖，\(O(0,0)\)，\(A_1(8,0)\)，\(\overline{A_1A_2}\)與\(x\)軸正向夾\(45^{\circ}\)角，又\(\overline{A_1A_2}// \overline{A_3A_4}// \overline{A_5A_6}// \ldots\)，且\(\overline{OA_1}// \overline{A_2A_3}// \overline{A_4A_5}// \ldots\)，已知\(\overline{A_1A_2}=8\)，\(\overline{A_1A_2}=2\overline{A_2A_3}\)，\(\overline{A_2A_3}=2\overline{A_3A_4}\)，\(\ldots\)，\(\overline{A_kA_{k+1}}=2\overline{A_{k+1}A_{k+2}}\)，\(k \in N\)。若點\(A_n\)的坐標為\((x_n,y_n)\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n+y_n)=\)　　　　。
[解]
\(\matrix{\displaystyle y_n=&4\sqrt{2}&-&\sqrt{2}&+&\frac{\sqrt{2}}{4}&-&\frac{\sqrt{2}}{16}&+\ldots \cr
&A_2&&A_4&&A_6&&A_8&}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=\frac{4\sqrt{2}}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{16\sqrt{2}}{5}\)

\(\matrix{\displaystyle x_n&8&+&4\sqrt{2}&-&4&-&\sqrt{2}&+&1&+&\frac{\sqrt{2}}{4}&-&\frac{1}{4}&+\ldots \cr
&A_1&&A_2&&A_3&&A_4&&A_5&&A_6&&A_7&}\)
\( x_{n} \)拆成兩個無窮等比級數和。
\(\displaystyle x_n=8+\left(4\sqrt{2}-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\ldots \right)+\left(-4+1-\frac{1}{4}+\ldots \right)\)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=8+\frac{4\sqrt{2}}{1-(-\frac{1}{4})}+\frac{-4}{1-(-\frac{1}{4})}=8+\frac{16\sqrt{2}}{5}-\frac{16}{5}=\frac{24+16\sqrt{2}}{5} \)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n+y_n)=\frac{24+16\sqrt{2}}{5}+\frac{16\sqrt{2}}{5}=\frac{24+32\sqrt{2}}{5}\)

作者: laylay 時間: 2018-7-4 18:23 標題: 回覆9#

填充3.

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作者: laylay 時間: 2018-7-5 07:07 標題: 請問證明一: an趨近於0, 怎麼證?

an=1*3*5*....*(2n-1)/[2*4*6*.....*(2n)] = c(2n,n)/2^(2n)=c(2n,n) / [ c(2n,0)+c(2n,1)+......+c(2n,2n) ],
既然an趨近於0 , 那麼(2n)an=3*5*....*(2n-1)/[2*4*6*.....*(2n-2)] 應該是趨近於無窮大吧?
那是否存在0<b<1 使 n^b*an趨近於常數c>0 , b,c又是多少呢?

作者: lulu25 時間: 2018-7-5 08:34

直覺的想如果從1/2份開始一直被瓜分(一直乘以真分數) 感覺最後會逼近0

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作者: laylay 時間: 2018-7-5 08:50 標題: 回復 13# lulu25 的帖子

感謝您的解答,那麼 b=1/2 嗎 ? c 是多少呢 ?

作者: laylay 時間: 2018-7-5 11:37 標題: 承12#,13#,14#

2an>b(n-1)
=>2an^2>an*b(n-1)=1/(2n) =>1/(2ㄏn)<an , 又由 #13 知 an<1/ㄏ(2n+1)<1/ㄏ(2n) =>1/2<an*ㄏn <1/ㄏ2,對於每個自然數 n
=> b=1/2 , n^b*an = an*ㄏn 的極限值介於1/2=0.5 到1/ㄏ2=0.707 之間 , 有人知道此極限值 c 為何嗎?
n>4 時
(2*4*6*8)/(1*3*5*7)*an>(3*5*7)/(2*4*6)*b(n-1) => an^2>(3*3*5*5*7*7)/(2*2*4*4*6*6*8)*an*b(n-1)=>an*ㄏn>(3*5*7)/(2*4*6*4)=35/64=0.546875
(2*4*6*8)/(1*3*5*7)*an<(3*5*7*9)/(2*4*6*8)*bn => an^2<(3*3*5*5*7*7*9)/(2*2*4*4*6*6*8*8)*an*bn=>an*ㄏ(2n)<an*ㄏ(2n+1)<(3*5*7*3)/(2*4*6*8)
=>an*ㄏn<ㄏ2/2*(3*5*7*3)/(2*4*6*8)=105/256*ㄏ2=0.580049
所以0.546875<an*ㄏn <0.580049,對於每個自然數 n>4
由 12# 知道丟(2n)個公正銅板 (n>4 時)
則正反面一樣多,各為n個的機率=an , 若再乘上ㄏn 總是會介於0.546875 , 0.580049 之間喔 !

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作者: Almighty 時間: 2018-7-8 00:39

想詢問一下計算證明1
an有整理到...C(2n ,n)/(4^n)然後就卡住惹
然後如果這時候利用斯特靈公式
再取極限...這個方法是否可行?!

作者: laylay 時間: 2018-7-8 04:59 標題: 回覆16#

太感謝您的提示了！

圖片附件: 20180708_051917.jpg (2018-7-8 05:19, 549.43 KB) / 該附件被下載次數 3450
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作者: laylay 時間: 2018-7-8 22:28 標題: 回復 17# laylay 的帖子

令 Dn=(1*2)*(4*5)*(7*8)......*[(3n-2)*(3n-1)]/[(3*3)*(6*6)*(9*9)*......*((3n)*(3n))]
      =(3n)!/[3^(3n)*(n!)^3]
   Dn 表示有(3n) 個人,各隨意出剪刀石頭布,結果剪刀石頭布出的人數一樣多(各 n 個人) 的機率
則由17# 可得 lim (Dn*n) (n趨近於無窮大)=ㄏ3/(2PI) 約為 0.2756644
意即 n 夠大時 (3n) 個人各隨意出剪刀石頭布,結果剪刀石頭布出的人數一樣多的機率將近 0.2756644/n
n=50 時 (共150人) 此機率為 0.274442/50=0.005489

那麼令  En=1*4*7......*(3n-2)/[2*5*8*......*(3n-1)]
則想請問 lim (En*ㄏn) (n趨近於無窮大) 為何呢?

作者: beaglewu 時間: 2019-1-31 22:07

想請教填充第8、12，謝謝！

作者: thepiano 時間: 2019-1-31 23:14 標題: 回復 19# beaglewu 的帖子

填充第12題
利用\(\displaystyle \left| \tan \left( \alpha +\beta \right) \right|=\left| \frac{-\left( m+1 \right)}{1-\left( m+4 \right)} \right|<1\)及\({{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( m+4 \right)\ge 0\)

作者: thepiano 時間: 2019-1-31 23:31 標題: 回復 19# beaglewu 的帖子

第 8 題
102 北一女考過，請參考
https://math.pro/db/thread-1568-2-3.html

作者: beaglewu 時間: 2019-2-1 11:02 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano老師，受益良多！

作者: anyway13 時間: 2020-1-7 00:39 標題: 請教計算題3的證明

版上老師好

請問第三題的證明第一題證明周長是2

請問要怎麼證明呢? 訂座標完後,越寫越糊塗

作者: thepiano 時間: 2020-1-7 07:30 標題: 回復 23# anyway13 的帖子

證明第 3 題第 1 小題
應是證三角形 PB’D 的周長為 2
利用 PB’D 和 B’MC 相似
設前者邊長是後者的 k 倍，利用畢氏定理即可證出

作者: 年獸 時間: 2020-1-7 08:27 標題: 回復 23# anyway13 的帖子

設座標硬爆的時候，NM這條對稱線不只一條，所以會保持有未知數的樣子。
我是設 NM : x+by=c 用 B 代對稱點公式，可以得到 c = (b^2+1)/2
然後把 B' C D 都用 b 表示，最後算週長 b 會約分掉，就可以做出來了
但我相信題目是希望看到樓上thepiano大大的做法

作者: anyway13 時間: 2020-1-7 18:06 標題: 回復 24# thepiano,25#年獸的帖子

謝謝鋼琴老師和年獸老師的建議和提示

很有用,謝謝你們

作者: Gary 時間: 2022-4-2 23:17 標題: 可以問一下第九題嗎？感謝大家

第九題一直想不出來⋯⋯

作者: thepiano 時間: 2022-4-2 23:38 標題: 回復 27# Gary 的帖子

第 9 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=9438#p9438
注意數字不同

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