標題: 106景美女中 [打印本頁]

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作者: weiye    時間: 2017-5-27 07:03     標題: 106景美女中

朋友提供的記憶版題目。

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作者: laylay    時間: 2017-5-27 08:15     標題: 8.

ㄏ[7^2+(5ㄏ2)^2-2*7*(5ㄏ2)*cos(45+45+45)度]=13

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作者: laylay    時間: 2017-5-27 08:37     標題: 3.

f(x)=x^4+3x^3+x+2滿足f(1)=7,f(7)=3439,而且f(x)的非負整係數和為7,只要係數一改變,
f(7)的值就馬上改變,顯然沒別的情況可滿足題目條件
所以f(2)=44

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作者: whatbear    時間: 2017-5-27 14:38     標題: 1.

第一題：
1~10000的正整數，求各位數字和為25 的數字有幾個？

想請問老師們，這題如以下作法是否正確？
只考慮四位數，去除某一位數超過10

\(H_{25}^4 - C_1^4 H_{15}^4 + C_2^4 H_5^4\)=348

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作者: thepiano    時間: 2017-5-27 14:56     標題: 回復 4# whatbear 的帖子

您的做法正確

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作者: eyeready    時間: 2017-5-27 15:55

埴充4  
索迪公式
http://lyingheart6174.pixnet.net ... %28soddy-formula%29

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作者: laylay    時間: 2017-5-27 16:13     標題: 2.

(a1,b1)=sec日(cos日,sin日),每次變化為旋轉日角,故
(an,bn)=sec日(cos(n日),sin(n日)),其中'日'代表'戲塔'
希望在這裡能加入方程式編輯器的功能

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-27 16:16 編輯 ]

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作者: laylay    時間: 2017-5-27 16:51     標題: 4.

設半徑1的圓心(0,0),半徑2的圓心(3,0),半徑3的圓心(0,4),所求半徑r的圓心(x,y),
則 x^2+y^2=(r+1)^2...........(1)  
    (x-3)^2+y^2=(r+2)^2......(2)  
    x^2+(y-4)^2=(r+3)^2......(3)
   (2)-(1) 得 x=1-r/3  
   (3)-(1) 得 y=1-r/2 , 代入 (1) 得 r=6/23

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作者: eyeready    時間: 2017-5-27 18:54


\(
\begin{array}{l}
(1)因為 a_1  = \sqrt 3 , \\
\displaystyle \sqrt 3  \le a_2  = \sqrt {3 + \sqrt 3 }  \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \\
\displaystyle  \sqrt 3  \le a_3  = \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt 3 } }  \le \sqrt {3 + \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}}  = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \\
{\rm{          }}..... \\
\displaystyle  \sqrt 3  \le a_n  = \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...\sqrt {3 + \sqrt 3 } } }  \le \sqrt {3 + \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \\
\displaystyle  \forall n \in N ,\sqrt 3 \le a_n \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}  \\
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{l}
(2) \\
\displaystyle  a_{n + 1}^2 - a_n^2 = 3 + a_n - a_n^2 = - (a_n - \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2})(a_n - \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}) > 0 \\
因此為遞增數列
\end{array}
\)
(3)
\(
\begin{array}{l}
根據實數完備性，極限值存在，可令 \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n = \alpha  \\
\displaystyle \alpha = \sqrt {3 + \alpha } \to \alpha ^2 = 3 + \alpha \to \alpha = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} (負不合) \\
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-27 19:06 編輯 ]

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作者: enlighten    時間: 2017-5-28 00:46

請問第10題。

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作者: thepiano    時間: 2017-5-28 07:25     標題: 回復 10# enlighten 的帖子

第10題
題目應有\(k>0\)這個條件
\(\alpha \)為\({{x}^{2}}-x-k=0\)的正根
\(\begin{align}
  & -\alpha =k-{{\alpha }^{2}} \\
& \left| {{a}_{n+1}}-\alpha  \right|=\left| \sqrt{{{a}_{n}}+k}-\alpha  \right|=\frac{\left| {{a}_{n}}+k-{{\alpha }^{2}} \right|}{\sqrt{{{a}_{n}}+k}+\alpha }=\frac{\left| {{a}_{n}}-\alpha  \right|}{\sqrt{{{a}_{n}}+k}+\alpha }<\frac{\left| {{a}_{n}}-\alpha  \right|}{\alpha } \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\alpha  \\
\end{align}\)

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作者: thepiano    時間: 2017-5-28 07:45     標題: 回復 4# whatbear 的帖子

數字和25和數字和11的個數是一樣的
這樣計算會簡便一些

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作者: yinchou    時間: 2017-5-28 09:41     標題: 7.(1),(2),(3)

感謝各位老師的指正

[ 本帖最後由 yinchou 於 2017-6-1 08:13 編輯 ]

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作者: enlighten    時間: 2017-5-28 14:13     標題: 回復 13# yinchou 的帖子

最後一行應是(s-b)(s-c)+s(s-a)。

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作者: eyeready    時間: 2017-5-28 14:18

7(3)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \sin \left( {\frac{{\frac{{A + B + C}}{2}}}{3}} \right) \ge \frac{{\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} \\
\displaystyle \sin 30^ \circ   \ge \sqrt[3]{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} \to \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{8} \\
\end{array}
\)

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作者: cefepime    時間: 2017-5-28 23:52

3. f(x) 是係數為非負整數的多項式，且 f(1) = 7，f(7) = 3439，求 f(2) = ?

解: 由條件知，f(x) 的各項係數依降冪排列即 3439 的 7 進位表達式。

3439 = 13012₇

⇒ f(x) = x⁴ + 3x³ + x + 2  (合)

⇒ f(2) = 44

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作者: james2009    時間: 2017-5-29 23:41     標題: 回復 2# laylay 的帖子

想請教laylay老師:
為什麼原式的最小值會等於這個式子呢??

先跟您道謝了!!!

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作者: thepiano    時間: 2017-5-30 07:46     標題: 回復 17# james2009 的帖子

幫 laylay 大補個圖
所求即\(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}\)的最小值\(=\overline{AD}\)

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作者: james2009    時間: 2017-5-30 15:15     標題: 回復 18# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師^^

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作者: superlori    時間: 2017-5-30 17:45     標題: 第六題

第六題我印象中題目應該是
sinxcosx+sinycosy+sinxsiny+cosxcosy=1

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作者: BambooLotus    時間: 2017-5-30 21:45

https://math.pro/db/thread-951-2-9.html

剛好做完99中壢要來寫這份，發現一模一樣，補個bugmens老師補充的出處

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作者: tuhunger    時間: 2017-6-1 15:22     標題: 7.(2)

補充sin,cos半角其它證明法

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作者: cefepime    時間: 2017-6-1 23:26

9.

這題是 1993 年大學聯考自然組數學的最後一題 (僅改變數字)

可考慮先解 (2)

(2) 利用數學歸納法: 設 ak ≤ ak₊₁ ⇒ √(3+ak) ≤ √(3+ak₊₁) ⇒ ak₊₁ ≤ ak₊₂

(2) ⇒ (1): 解一元二次不等式

(1), (2) ⇒ (3)

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作者: thepiano    時間: 2017-6-2 16:46     標題: 回復 20# superlori 的帖子

應該是如您所記

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4134&k=82f325cf23a07090f121d8b5fbef43e4&t=1714159939

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