標題: 多項式 牛頓插值法 [打印本頁]

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作者: weiwei    時間: 2015-12-7 15:40     標題: 多項式 牛頓插值法

設f(x)為四次實係數多項式，且首項係數為1，已知f(3)=9，f(5)=16，f(7)=27，求f(1)+f(9)=?
如果不要用拉格朗插值法 而是用牛頓要如何解呢?

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作者: thepiano    時間: 2015-12-7 17:55     標題: 回復 1# weiwei 的帖子

先提供答案 432，等妙解

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作者: weiwei    時間: 2015-12-7 19:09     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

好的 ^^

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作者: thepiano    時間: 2015-12-7 19:16     標題: 回復 1# weiwei 的帖子

小弟先拋磚引玉，繼續等妙解......

附件: 20151207.pdf (2015-12-7 19:19, 102.66 KB) / 該附件被下載次數 4692
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3140&k=e393146e6fc8bc144d773222c02183c1&t=1714735403

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作者: weiwei    時間: 2015-12-7 19:23     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

那(x-9)是怎麼假設出來的呢?
是因為所求有f(1)+f(9)嗎?
那可以用(x-1)假設嗎?

不好意思問題有點多 謝謝你^^

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作者: superlori    時間: 2015-12-7 19:31     標題: 回復 1# weiwei 的帖子

小弟沒有妙解，但有用牛頓插值法做
令f(x)=(x-3)(x-5)(x-7)(x-k)+a(x-3)(x-5)(x-7)+b(x-3)(x-5)+c(x-3)+9...(*)
f(1)+f(9)=48*8+32b+4c+18
x=5代入(*)可得2c=7=>4c=14
x=7代入(*)可得8b=4=>32b=16
故所求即為384+16+14+18=432

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作者: weiwei    時間: 2015-12-7 19:38     標題: 回復 6# superlori 的帖子

感謝你的神奇牛頓法!!!! ^^

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作者: thepiano    時間: 2015-12-7 21:02

引用:

原帖由 weiwei 於 2015-12-7 07:23 PM 發表
那(x-9)是怎麼假設出來的呢?
是因為所求有f(1)+f(9)嗎??

對啊

引用:

那可以用(x-1)假設嗎?

可以

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作者: thepiano    時間: 2015-12-7 21:03     標題: 回復 6# superlori 的帖子

妙解出現了，帥啊

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作者: bibibobo    時間: 2015-12-7 22:01     標題: 回復 1# weiwei 的帖子

小弟也獻醜一下 請各位版大別見笑

令f(x)=(x-3)(x-5)(x-5)(x-7)+a(x-3)(x-5)(x-7)+b(x-3)(x-7)+c(x-3)+9

由條件可以解出c=4.5 ,b=0.5

所求f(1)+f(9)=2*16*6*2+0+(0.5)*2*6*2+(4.5)*(1+9-6)+18=432

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作者: cefepime    時間: 2015-12-8 00:09

諸 x 呈等差，試試巴貝奇定理
https://math.pro/db/thread-673-1-1.html

令 F(x) = f(x) - x⁴，則 deg F(x) ≤ 3

F(1) - 4*F(3) + 6*F(5) - 4*F(7) + F(9) = 0

f(1) + f(9) = 1⁴ + 9⁴ + 4*(9 - 3⁴ + 27 - 7⁴) - 6*(16 - 5⁴) = 432

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