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標題: 101中正預校 [打印本頁]

作者: basess8 時間: 2012-6-2 22:01 標題: 101中正預校

考試時記錄下來的，有錯請指證

【註：weiye 於 6/3 加上中正預校公布的填充題試題與答案】

附件: 101中正預校.pdf (2012-6-2 22:01, 86.78 KB) / 該附件被下載次數 11272
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附件: 101中正預校（官方版試題和答案）.zip (2012-6-3 17:43, 47.91 KB) / 該附件被下載次數 10996
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作者: bugmens 時間: 2012-6-2 23:02

感謝分享
3.
設數列$ a_1=1,a_2=3 $，$ \forall n \in N $都有$ a_n a_{n+1} \ne 2 $，且$ a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) $，$ \displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n= $？
[提示]
$ a_{n+1} a_{n+2}a_{n+3}=2(a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}) $
$ a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) $
兩式相減得
$ a_{n+1}a_{n+2}(a_{n+3}-a_n)=2(a_{n+3}-a_n) $
$ (a_{n+1}a_{n+2}-2)(a_{n+3}-a_n)=0 $
∵$ a_{n+1}a_{n+2} \ne 2 $
∴$ a_{n+3}=a_n $

數列$ \{\; a_n \}\; $中，已知$ a_1=2 $，$ a_{n+1}>a_n $，且$ a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}a_n+4a_{n+1}+4a_n $，則一般項$ a_n= $？
(98師大附中，https://math.pro/db/thread-735-1-1.html)

7.
若$ g(x)=8x^3-4x^2-4x+3 $，求$ \displaystyle g(sin \frac{\pi}{14}) $的值？
[解答]
令$ \displaystyle \theta=\frac{\pi}{14} $，$ 7 \theta=\frac{\pi}{2} $，$ 4 \theta=\frac{\pi}{2}-3 \theta $，$ sin(4 \theta)=sin(\frac{\pi}{2}-3 \theta) $
$ 2 sin(2 \theta)cos(2 \theta)=cos(3 \theta) $，
$ 2 \cdot 2 sin \theta cos \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^3 \theta-3 cos \theta $
$ 4 sin \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^2 \theta-3 $
$ 8sin^3 \theta-4 sin^2 \theta-4 sin \theta+3=2 $

計算題1.
設$ a_1=10 $，$ \displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1 a_2 a_3 ... a_{n-1}+1} $，$ n \ge 2 $。$ \forall n \in N $，$ \displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{a_n}<A $恆成立。求A的最小值？

設有一實數列$ \{\; a_n \}\; $，且$ a_1=1 $，$ a_{n+1}=1+a_1 a_2 ... a_n $( $ n=1,2,3,... $ )試求$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}= $？
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19134

2.
求出所有正整數n使得$ 4^n+n^4 $為質數
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840

證明題1.
投擲均勻銅板$ 2n $次，至少出現n次正面的機率為$ \displaystyle \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2n+1} \times C_n^{2n} $

擲一公正骰子200次，至少出現100次正面的機率為$ a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} $，則數對$ (a,k)= $？
(99彰化女中，https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-3 12:03 AM 編輯 ]

作者: Herstein 時間: 2012-6-2 23:10 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ?

作者: hua0127 時間: 2012-6-2 23:50

引用:

原帖由 Herstein 於 2012-6-2 11:10 PM 發表
這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ?

應該是不會，因為兩式相減之後可整理為 ( a(n+3)-a(n) ) (a(n+2)*a(n+1)-2 )=0
由題意可推知 a(n+3)-a(n)=0

作者: Herstein 時間: 2012-6-2 23:56 標題: 回復 4# hua0127 的帖子

了解我剛把a(n+3)-a(n) 認定非零把他消去了
感謝!

作者: Ellipse 時間: 2012-6-3 14:52

引用:

原帖由 basess8 於 2012-6-2 10:01 PM 發表
考試時記錄下來的，有錯請指證

這次應該不會有很多人100分了~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-6-3 05:05 PM 編輯 ]

作者: Crazystan 時間: 2012-6-3 21:51

想請教一下第5,6,8題

謝謝!!

作者: weiye 時間: 2012-6-3 21:58 標題: 回復 7# Crazystan 的帖子

填充題第 5 題：

$17 \equiv -3 \pmod{10}$

$\Rightarrow 17^{4} \equiv (-3)^4\equiv 1 \pmod{10}$

而 $17^{17}=\left(16+1\right)^{17}\equiv 1\pmod{4}$

所以，$17^{17^{17}}\equiv 17^1\equiv 7\pmod{10}$

作者: weiye 時間: 2012-6-3 22:20 標題: 回復 7# Crazystan 的帖子

填充第 6 題：

既然 $\displaystyle <r_n>$ 收斂，就先來求一下極限值好了，

令 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n=k $，則 $\displaystyle k=\frac{5}{2}k-k\Rightarrow k=0$

好吧，回到正題，來求 $\displaystyle a_2$

先將題目給的式子改寫成 $\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})$

再列出如下列 $\displaystyle n-2$ 個式子，

$\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})$

$\displaystyle r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2}= 2 (r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3})$

$\displaystyle r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3}= 2 (r_{n-3}-\frac{1}{2} r_{n-4})$

‧‧‧‧‧‧

$\displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2= 2 (r_2-\frac{1}{2} r_1)$

case i: 若 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1\neq0$，則 $\displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2\neq0$

　　　　$\displaystyle \Rightarrow r_4-\frac{1}{2} r_4\neq0\Rightarrow \cdots\Rightarrow r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}\neq0$

　　　　將上列 $\displaystyle n-2$ 個式子相乘，可得 $\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2^{n-2}\left(r_2-\frac{1}{2} r_1\right)$

　　　　$\displaystyle \Rightarrow r_2-\frac{1}{2} r_1=\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}$

　　　　（有沒有發現到，等號左邊是定數，右邊卻會隨 $\displaystyle n$ 而改變）

　　　　因為 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1 $ 是常數時，因此 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}= r_2-\frac{1}{2} r_1$

　　　　另一方面，因為 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n= 0$，所以 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}=0$

　　　　可得 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0$，矛盾。
　　　　　（注意：是〝等於〞不是〝趨近〞）

case ii: 若 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0$，則 $\displaystyle r_2=\frac{1}{2} r_1=\frac{2003}{2}$

作者: weiye 時間: 2012-6-3 22:53 標題: 回復 7# Crazystan 的帖子

填充第 8 題：設 $g(x)$ 及 $f(x)$ 分別為一元六次多項式且 $g(x)=f(x)-a=0$，當 $a = 2, 4, 6, 8, 10$ 時，

$g(x)=0$的根分別為 $1, 2, 3, 4, 5$，求 $f(10)+f(-4)$ 之值為_____________.

解答：

令 $h(x)=f(x)-2x$，則 $h(x)$ 為六次多項式且

$h(1)=f(1)-2=g(1)=0, h(2)=f(2)-4=g(2)=0, \cdots, h(5)=f(5)-10=g(5)=0$

由因式定理，可知 $h(x)$ 有因式 $(x-1),(x-2),\cdots,(x-5)$

且因為 $h(x)$ 為六次多項式，可令 $h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)$

則 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)+2x$

$f(10)+f(-4)=\left[9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\left(10b+c\right)+20\right]+\left[(-5)\cdot(-6)\cdot(-7)\cdot(-8)\cdot(-9)\left(-4b+c\right)-8\right]$

　　　$=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot14\cdot b+12=211680b+12$

怪哉，題目是否有疏漏？好像漏掉首項係數為 $1$ （$b=1$）的條件了？還是小弟哪裡眼花了嗎？

作者: Crazystan 時間: 2012-6-4 20:04

瑋岳老師謝謝您熱心的解答!!

作者: wind2xp 時間: 2012-6-5 13:02

第8題我跟老師得到一樣的結果.....不知為何最後答案會是一個數字@@

第6題曾經看過類似題型是
r_n收斂  令原式為 X^2=5X/2 - X  得X=2與1/2

令r_n= a(2)^n+b(1/2)^n  很明顯當n趨近無限大時r_n不收斂,因此,a必為0

則r_n=b(1/2)^n  r_1=2003代入可得b=4006  即可求得r_2

不知道這樣想有沒有不完備

作者: peter579 時間: 2012-6-5 17:23

請教一下填充11、12、14 證明第二題

若是之前有考過，也麻煩一下，謝謝。

作者: weiye 時間: 2012-6-5 17:39 標題: 回復 13# peter579 的帖子

填充第 11 題：設袋中有 $4$ 個紅球， $6$ 個黑球，今自袋中隨機一次取一個球出來，共取 $3$ 次，取法分別為 (i) 取後放回， (ii) 取後不放回；兩種情形， (i) 及 (ii) ，分別取到紅球個數的期望值為 $a$ 及 $b$ ，求 $a + b =$ ______________.

解答：
$\displaystyle a=b=3\cdot\frac{4}{4+6}=\frac{6}{5}$

或是也可以寫

$\displaystyle a=3\cdot C^3_3\left(\frac{4}{10}\right)^3+2\cdot C^3_2\left(\frac{4}{10}\right)^2\left(\frac{6}{10}\right)+1\cdot C^3_1\left(\frac{4}{10}\right)\left(\frac{6}{10}\right)^2+0\cdot C^3_0\left(\frac{6}{10}\right)^3=\frac{6}{5}$

$\displaystyle b=3\cdot\frac{C^3_3 4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8}+2\cdot\frac{C^3_2 4\cdot3\cdot6}{10\cdot9\cdot8}+1\cdot\frac{C^3_1 4\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}+0\cdot\frac{C^3_0 6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8}=\frac{6}{5}$

$\displaystyle \Rightarrow a+b=\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=\frac{12}{5}$

作者: weiye 時間: 2012-6-5 17:48 標題: 回復 13# peter579 的帖子

填充第 12 題：設 $x,y,z$ 均為實數，且滿足 $x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)$，求 $2x-4y+6z+38$ 的最大值及最小值之和為_________________.

解答：

$x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)$

$\Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=14$

由柯西不等式，可得

$\left((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\right)\left(1^2+\left(-2\right)^2+3^2\right)\geq \left((x+1)-2(y-2)+3(z+3)\right)^2$

$\Leftrightarrow 14^2\geq \left(x-2y+3z+14\right)^2$

$\Leftrightarrow -14\leq x-2y+3z+14\leq14$

$\Leftrightarrow -28\leq x-2y+3z\leq0$

$\Leftrightarrow -56\leq 2x-4y+6z\leq0$

$\Leftrightarrow -18\leq 2x-4y+6z+38\leq38$

得 $2x-4y+6z+38$ 的最大值與最小值分別為 $38$ 與 $-18$

所求＝$38+(-18)=20$

作者: weiye 時間: 2012-6-5 17:57 標題: 回復 13# peter579 的帖子

填充第 14 題：設 $a, b$ 為二正整數，已知它們的最小公倍數為 $2^6\times3^2\times11^2\times13$，則這樣的正整數對 $(a, b)$ 共有多少組?_____________.

解答：

先來討論一下 $a$ 與 $b$ 當中 $2$ 這個質因數分配得情況好了～

因為最小公倍數有恰含有 $2^6$，

所以 $a$ 與 $b$ 至少有一個質因數分解之後恰含有 $2^6$

　　另一個寫成標準分解式之後可能有 $2^0,2^1,2^2,\cdots,2^6$

因此，$a$ 與 $b$ 當中 $2$ 的因數分配情況可能有 $2\cdot7-1$ 種。

（扣掉的那個是重複計算的，也就是 $a$ 與 $b$ 剛好都恰含有 $2^6$ 的因數～被重複計算的次數）

其它同理，

因此，可得所求為 $(2\cdot7-1)(2\cdot3-1)(2\cdot3-1)(2\cdot2-1)=975$ 種。

作者: 阿光 時間: 2012-6-5 20:41

想請教填充第13題,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-6-5 22:14 標題: 回復 17# 阿光的帖子

填充第 13 題：

先來研究一下規律好了～

想像有一排燈按照 $a_na_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\cdots a_3a_2a_1$ 排列～

對照到剛剛那串排列順序～有出現 $a_k$ 則 $a_k$ 位置亮燈（寫成 $1$），

沒出現 $a_k$ 則 $a_k$ 位置不亮燈（寫成 $0$），

第一個位置對應到 → $0000000\cdots00000$

第二個位置對應到 → $0000000\cdots00001$

第三個位置對應到 → $0000000\cdots00010$

第四個位置對應到 → $0000000\cdots00011$

第五個位置對應到 → $0000000\cdots00100$

第六個位置對應到 → $0000000\cdots00101$

第七個位置對應到 → $0000000\cdots00110$

第八個位置對應到 → $0000000\cdots00111$

　　　　　　　　　　 $\cdots\cdots\cdots$

看出來了嗎？第 $k$ 個位置對應到的就是 $k-1$ 的二進位數值

因為 $155=128+16+8+2+1=2^7+2^4+2^3+2^1+2^0$

所以要亮燈的分別是 $a_8, a_5, a_4, a_2, a_1$

因此，排在第 $156$ 位置的是 $a_1a_2a_4a_5a_8.$

作者: tuhunger 時間: 2012-6-6 11:18 標題: 回復 18# weiye 的帖子

0 [a1] [ a2  a12]  [a3  a13  a23  a123]  [a4  a14  a24  a34  a134 a234  a1234]  [a5  a15  a25....] ....
                                                                  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以4為例, 每個都會有4 , 前面就1,2,3亂取  共2^3=8種  依序為:沒取,1 ,2,3 ,12,13,23,123
若依此規律  似乎也滿足題意  但答案就@#$%

作者: weiye 時間: 2012-6-6 13:07

其實昨天我看到這題的想法也跟你差不多，不過我是解讀成~~

$I$ 當作是乘法單位元素，

然後每一群的元素就是把前面的每個元素從右邊乘上新增加的元素

I
^-------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a1，也就是增加 a1

I, [a1]
^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a2，也就是增加 a2,a12

I, [a1], [a2, a12]
^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a3，也就是增加 a3, a13, a23, a123

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a4，也就是增加 a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123], [a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234], .........

不過後來想想，上面這個規律與二進位是相同的，所以就用二進位來處理比較方便。

不過如果每群新增加的元素排列的規律，如 tuhunger 老師所提的，或許也有可能～

畢竟題目是用＂以此類推＂四個字，每個人找到的規律的確有可能不同，

而數列，除非題目有詳細說明規律，不然若純以條列的方式，的確下一個元素是誰都可以。

：）

作者: tuhunger 時間: 2012-6-7 00:03

設a, b為二正整數，已知它們的最小公倍數為2^6 x3^2x11^2 x13 ，則這樣的正整數對(a, b)共有多少組
ANS:975組

這一題今天清水高中居然考出來了...有人可以分享嗎?  我的想法是錯滴><

我想法是a,b至少一個是2^6,另外一個可以2^(0~6)  :2x6=12種
            a,b至少一個是3^2,另外一個可以3^(0~2)  :2x3=6種
依此類推...但答案是錯了><

作者: basess8 時間: 2012-6-7 00:24

(a,b)=(2^6,1) or (2^6,2^1) or (2^6,2^2) or (2^6,2^3) or (2^6,2^4) or (2^6,2^5) or (2^6,2^6)
      (1,2^6) or (2^1,2^6) or (2^2,2^6) or (2^3,2^6) or (2^4,2^6) or (2^5,2^6)

      注意兩個6次方的只算一次，其他的可以交換共13組
      公式可以看成 (次方的兩倍+1)組

[ 本帖最後由 basess8 於 2012-6-7 12:26 AM 編輯 ]

作者: 阿光 時間: 2012-6-7 08:56

想請教填充第13題,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-6-7 09:18 標題: 回復 23# 阿光的帖子

填充第１３題，前面已經解了。

其實最小公倍數那題前面也解了………==

作者: 阿光 時間: 2012-6-7 12:16

soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己已有問過該題

作者: 阿光 時間: 2012-6-7 12:18

更正
soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己"忘了"已有問過該題

作者: 阿光 時間: 2012-6-7 12:25

想再請教證明第2題,謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-6-7 17:59 標題: 回復 27# 阿光的帖子

計算 2.

若 $ n $ 正偶數，亦驗 $ 4^{n}+n^{4}>2 $ 且為偶數。故不為質數

注意 $ x^{4}+y^{4}=(x^{2}+\sqrt{2}xy+y^{2})(x^{2}-\sqrt{2}yx+y^{2}) $

若 $ n $ 為正奇數，則有 $ 4^{n}+n^{4}=(\sqrt{2}^{n})^{4}+n^{4}=(2^{n}+n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2})(2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}) $

又 $ n $ 是正奇數，可得兩個括弧內皆為整數，而前者為正，相乘亦正，因此兩者皆正。

若其乘積為質數，其一必為 $1 $。

檢驗之可得僅當 $ n=1 $ 時， $ 2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}=1 $， $ 4^{1}+1^{4}=5 為質數 $。

(可用單調性說明，無其它解。而單調性是容易驗的性質)

因此正整數 $ n $ 有唯一解 $ n=1$ 。

作者: shiauy 時間: 2012-6-8 00:22

想請教第15題填充怎麼做，小弟微積分不是很好

作者: weiye 時間: 2012-6-8 09:04 標題: 回復 29# shiauy 的帖子

填充第 15 題：

令 $\displaystyle f(x)=\int_4^x \frac{1}{2+t^2}dt\Rightarrow f\,'(x)=\frac{1}{2+x^2}$

則 $y=-f(1+3x^2)$

$\displaystyle y\,'=-f\,'(1+3x^2)\cdot(1+3x^2)'=-\frac{1}{2+(1+3x^2)^2}\cdot(6x)=\frac{-2x}{1+2x^2+3x^4}$

作者: 阿光 時間: 2012-6-9 07:22

想請教證明題1和2題(不是計算題哦)

作者: tsusy 時間: 2012-6-9 09:16 標題: 回復 31# 阿光的帖子

證明 1. 利用對稱，及 $ \sum\limits _{k=0}^{2n}C_{k}^{2n} =2^{2n} $, 寫下所求化簡得

$\displaystyle \frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=n+1}^{2n}C_{k}^{2n}}{2^{n}}=\frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2}(C_{2n-k}^{2n}+C_{k}^{2n})}{2^{2n}}=\frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=0}^{2n}C_{k}^{2n}}{2^{2n+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2n+1}}C_{n}^{2n} $

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-9 01:19 PM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2012-6-9 16:51

證明2
先將欲證之式整理一下
$\displaystyle OB^2-OA^2=OA \cdot AD-OB \cdot BC+AB \cdot CD $

$\displaystyle OB(OB+BC)=OA(OA+AD)+AB \cdot CD $

$\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OD+AB \cdot CD $

作輔助線在 $ OD $ 的延長線上取 $ E $ 使得 $ \angle{DCE}=\angle{AOB} $
那麼 $ \Delta AOB \sim \Delta DCE (AA) $
$\displaystyle \frac{OA}{CD}=\frac{AB}{DE} $

$\displaystyle AB \cdot CD=OA \cdot DE $

又$ \Delta AOB \sim \Delta COE (AA) $
$\displaystyle \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OE} $

$\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OE $

於是
$\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot (OD+DE)=OA \cdot OD+OA \cdot DE=OA \cdot OD+AB \cdot CD $

[ 本帖最後由老王於 2012-6-9 04:54 PM 編輯 ]

圖片附件: 101中正預校證明2.jpg (2012-6-9 16:52, 7.26 KB) / 該附件被下載次數 4324
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作者: pizza 時間: 2012-6-10 19:51

請問填充9怎麼做?謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-6-10 22:42 標題: 回復 34# pizza 的帖子

填充 9. 化成極式，棣美佛

長度相等得 $ a=b $, 角度同位角，可差 $ 2n\pi $

因此可解得無限多解 $ a = b =6n $, 其中 $ n \in Z $

所以最小整數解為 $ a=b =6 $, 而 $ a+2b=18 $

作者: 王保丹 時間: 2013-4-21 13:33

填充第3題土法練綱法

[ 本帖最後由王保丹於 2013-4-21 01:36 PM 編輯 ]

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作者: 王保丹 時間: 2013-5-11 17:12

計算題1我算到目前，答案是1\5？

102.5.12版主補充
將縮小圖檔以節省論壇空間(902KB->207KB)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-12 01:01 PM 編輯 ]

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作者: shingjay176 時間: 2013-5-12 12:29 標題: 回復 37# 王保丹的帖子

An為遞增正數列,1/A1A2.................逼近於0
A(n+1)-A(n)=A1A2A3....An - A1A2A3.....A(n-1)
=A1A2A3---A(n-1){An -1}>0 A1=10
所以答案1/5

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-12 12:37 PM 編輯 ]

作者: 王保丹 時間: 2013-5-12 12:58

謝謝興傑老師的回覆

作者: Callmeluluz 時間: 2014-10-30 11:59

證明第一題

我算出來是 1/2 + (1/2)^(2n) * C(2n,n)

我的1/2只有開到2n次沒開到2n+1次

我的想法是

P(至少n次正面)=P(恰好n次正面)+P(至少n+1次正面)
↓　　　　　　　↓　　
= 1/2 + C(2n,n)*(1/2)^(2n)

請問哪裡不對

小弟資質愚昧感謝老師們指點迷津

作者: thepiano 時間: 2014-10-30 12:42 標題: 回復 40# Callmeluluz 的帖子

恰好 n 次正面的機率不是$\frac{1}{2}$

參考一下小弟的做法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=1278

作者: Callmeluluz 時間: 2014-10-30 14:47 標題: 回復 41# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師

我一直當成0~2n有偶數個數來做

總算是解決了感謝

作者: cefepime 時間: 2014-10-30 18:35

證明第一題，或許也可以這樣:

依據題目的對稱性，

P(至少出現 n 次正面)*2 - P(恰出現 n 次正面) = 1

即
P(至少出現 n 次正面)

= (1/2)*(1 + P(恰出現n 次正面))

= 1/2 + (1/2)*C(2n,n)*(1/2)²ⁿ

= 1/2 + (1/2)²ⁿ+¹*C(2n,n)

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